Đề bài: Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:      $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$.

Lời giải

Đề bài:
Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:      $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$.
Lời giải

Cách $1$:
Đặt $x=b+c, y=a+c, z=a+b;    x,y,z>0$
Suy ra:
   $
\displaystyle a=\frac{y+z-x}{2}, b=\frac{z+x-y}{2}, c=\frac{x+y-z}{2}$
Khi đó, $VT$ của bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
    $
\displaystyle VT=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}= \frac{1}{2}(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3) $
                                     $
\displaystyle \geq  \frac{1}{2}(6\sqrt[6]{\frac{y}{x}.\frac{z}{x}.\frac{z}{y}.\frac{x}{y}.\frac{x}{z}.\frac{y}{z}}-3)=\frac{3}{2} $, đcmp.
Đẳng  thức xảy ra khi:
    $x=y=z\Leftrightarrow a=b=c$

Cách $2$:
$
\displaystyle VT+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b}+1=(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$
$
\displaystyle =\frac{1}{2}[(a+b)+(b+c)+(c+a)](\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}) \geq \frac{9}{2}$
(áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski cho $2$ bộ số $(\sqrt{a+b};\sqrt{b+c};\sqrt{c+a})$ và $
\displaystyle (\frac{1}{\sqrt{a+b}};\frac{1}{\sqrt{b+c}};\frac{1}{\sqrt{c+a}})$)
 $
\displaystyle \Rightarrow VT \geq\frac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a=b=c$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi