31. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây. Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right| + \left| {{x^2} – 1} \right|} \right)\) có bao nhiêu điểm cực đại?

DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
31. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây. Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right| + \left| {{x^2} – 1} \right|} \right)\) có bao nhiêu điểm cực đại?

A. \(3\).

B. \(4\).

C. \(5\).

D. \(7\).

Lời giải

Đặt \(t\left( x \right) = \left| x \right| + \left| {{x^2} – 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – x – 1, & x \le  – 1\\ – {x^2} – x + 1, &  – 1 < x < 0\\ – {x^2} + x + 1, & 0 \le x \le 1\\{x^2} + x – 1, & x > 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(t’\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x – 1, &  & x <  – 1\\ – 2x – 1, &  – 1 < x < 0\\ – 2x + 1, & 0 < x < 1\\2x + 1, &  & x > 1\end{array} \right.\)

Suy ra \(t’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \frac{1}{2}\).

Do đó hàm số \(t\left( x \right) = \left| x \right| + \left| {{x^2} – 1} \right|\) có các điểm cực trị là \( \pm \frac{1}{2},0, \pm 1\).

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {t\left( x \right)} \right) \Rightarrow g’\left( x \right) = t’\left( x \right).f’\left( {t\left( x \right)} \right);\,\,g’\left( 2 \right) = 5f’\left( 5 \right) > 0\).

Từ đó, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\), ta thấy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right| + \left| {{x^2} – 1} \right|} \right)\) có 7 điểm cực trị, trong đó có 3 điểm cực đại và 4 điểm cực tiểu.

===========