ĐỀ BÀI:
Cho \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) và nội tiếp đường tròn tâm \(O\), \(AD\) là đường kính của đường tròn tâm \(O\). Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô đậm quay quanh đường thẳng \(AD\) bằng:
A. \(\frac{{\pi \sqrt 3 }}{{24}}{a^3}\).
B. \(\frac{{20\pi \sqrt 3 }}{{217}}{a^3}\).
C. \(\frac{{23\pi \sqrt 3 }}{{216}}{a^3}\).
D. \(\frac{{4\pi \sqrt 3 }}{{27}}{a^3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\), ta có \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Từ đó suy ra đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = OA = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Khi quay đường tròn tâm \(O\)quanh đường thẳng \(AD\)ta được khối cầu có thể tích là :
\({V_1} = \frac{4}{3}.\pi {R^3} = \frac{4}{3}.\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^3} = \frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\).
Khi quay \(\Delta ABC\) quanh đường thẳng \(AD\)ta được khối nón có thể tích là
\({V_2} = \frac{1}{3}.\pi {R_1}^2.h = \frac{1}{3}.\pi .B{H^2}.AH = \frac{1}{3}.\pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô đậm quay quanh đường thẳng \(AD\) bằng:
\(V = {V_1} – {V_2} = \frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}} – \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}} = \frac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}\).
===========
Để lại phản hồi