DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thuộc đoạn \(\left[ {1\;;2020} \right]\) thỏa mãn \(y\) là sốnguyên và
\(x + \ln x = y + {e^y}?\)
A. \(2021\).
B. \(2020\).
C. \(7\).
D. \(6\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận:
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {e^t}\; \Rightarrow f’\left( t \right) = 1 + {e^t} > 0\;,\;\forall t \in \mathbb{R}\; \Rightarrow \;f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\;\left( 1 \right)\).
Ta lại có: \(x + \ln x = y + {e^y}\; \Leftrightarrow f\left( {\ln x} \right) = f\left( y \right)\;\;\left( 2 \right).\)
Từvàsuy ra \(\ln x = y \Leftrightarrow x = {e^y}\).
Để \(1 \le x \le 2020\) thì \(1 \le {e^y} \le 2020 \Leftrightarrow 0 \le y \le \ln 2020.\)
Mà \(y\) nguyên và \(y \in \left[ {1\,;\,2020} \right]\;\)nên \(y \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7} \right\}.\)
Với mỗi giá trị \(y \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7} \right\}\)ta có một giá trị \(x\) tương ứng thuộc đoạn \(\left[ {1\;;2020} \right].\)
Vậy có 7 cặp số \(\left( {x\;;y} \right)\) thỏa mãn.
– Tư duy + C. asio:
+ Ta có: \(x + \ln x = y + {e^y}.\)Đặt \(M = \ln x \to x = {e^M} \Rightarrow {e^M} + M = {e^y} + y \Rightarrow x = {e^y}.\)
+ Để \(1 \le x \le 2020\) thì \(1 \le {e^y} \le 2020 \Leftrightarrow 0 \le y \le \ln 2020.\)
+ Mà \(y\) nguyên và \(y \in \left[ {1\,;\;2020} \right]\;\)nên \(y \in \left\{ {1\,;2\,;3\,;\,4\,;5\,;6\,;7} \right\}.\)
+ Với mỗi giá trị \(y \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7} \right\}\) ta có một giá trị \(x\) tương ứng thuộc đoạn \(\left[ {1\;;2020} \right].\)
Vậy có 7 cặp số \(\left( {x\;;y} \right)\) thỏa mãn.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========
Để lại phản hồi