ĐỀ BÀI:
Cho \(x > y \ge 0\) thỏa mãn \({3^{x + y + 2xy – 2}} = \frac{{2\left( {1 – xy} \right)}}{{x + y}}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 5y\) là
A. \(2\).
B. \(\frac{9}{5}\).
C. \(4\).
D. \(\frac{{50 – 8\sqrt 5 }}{{4\sqrt 5 + 1}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tự luận:
Điều kiện: \(1 – xy > 0\).
Ta có \({3^{x + y + 2xy – 2}} = \frac{{2\left( {1 – xy} \right)}}{{x + y}} \Leftrightarrow x + y + 2xy – 2 = {\log _3}\frac{{2 – 2xy}}{{x + y}}\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2 – 2xy} \right) + \left( {2 – 2xy} \right) = {\log _3}\left( {x + y} \right) + \left( {x + y} \right){\rm{ }}\left( * \right)\).
Xét hàm số \(g\left( t \right) = {\log _3}t + t,t > 0 \Rightarrow g’\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln 3}} + 1 > 0,\forall t > 0\).
Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow g\left( {2 – 2xy} \right) = g\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow 2 – 2xy = x + y \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)y = 2 – x \Leftrightarrow y = \frac{{2 – x}}{{2x + 1}}\).
Với \(1 – xy = 1 – x.\frac{{2 – x}}{{2x + 1}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{2x + 1}} > 0\).
Ta có \(P = x + 5y = x + 5.\frac{{2 – x}}{{2x + 1}}\). Đặt \(f\left( x \right) = x + 5.\frac{{2 – x}}{{2x + 1}} \Rightarrow f’\left( x \right) = 1 – \frac{{25}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\).
Khi đó \(f’\left( x \right) = 0 \Rightarrow {\left( {2x + 1} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 5\\2x + 1 = – 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = – 3\end{array} \right.\).
Vì \(x > 0\) nên ta nhận \(x = 2\).
Bảng biến thiên :
Vậy \(\min P = 2\) khi \(x = 2;y = 0\).
Tư duy + Casio + Mẹo:
Đề cho \(x > y \ge 0\), chọn \(y = 0\).
Ta có \({3^{x + y + 2xy – 2}} = \frac{{2\left( {1 – xy} \right)}}{{x + y}} \Leftrightarrow {3^{x – 2}} = \frac{2}{x} \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow {P_{\min }} = x + 5y = 2\).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========
Để lại phản hồi