Cho \(a,b,c\) là các số thực thỏa mãn biểu thức sau đây \(2\left( {{2^{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} – 1} \right) + {\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} + {\left( {c – 1} \right)^2} = {4^{a + b + c}}\). Đặt \(P = \frac{{3a + 2b + c}}{{a + b + c}}\) và gọi \(S\) là tập hợp gồm những giá trị nguyên của \(P\). Số phần tử của tập hợp \(S\) là

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Cho \(a,b,c\) là các số thực thỏa mãn biểu thức sau đây \(2\left( {{2^{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} – 1} \right) + {\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} + {\left( {c – 1} \right)^2} = {4^{a + b + c}}\). Đặt \(P = \frac{{3a + 2b + c}}{{a + b + c}}\) và gọi \(S\) là tập hợp gồm những giá trị nguyên của \(P\). Số phần tử của tập hợp \(S\) là

A. Vô Số. 

B. \(5\). 

C. \(4\). 

D. \(3\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(2\left( {{2^{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} – 1} \right) + {\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} + {\left( {c – 1} \right)^2} = {4^{a + b + c}}\)

\( \Leftrightarrow {2^{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 1}} + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 1 = {2^{2a + 2b + 2c}} + \left( {2a + 2b + 2c} \right)\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) trên \(\mathbb{R}\).

Ta lại có, \(f’\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó, phương trình đã cho có dạng \(f\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 1} \right) = f\left( {2a + 2b + 2c} \right)\).

Suy ra \(2a + 2b + 2c = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 1 \Leftrightarrow {\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} + {\left( {c – 1} \right)^2} = 2\)\(\left( * \right)\)

Ta lại có, \(P = \frac{{3a + 2b + c}}{{a + b + c}} \Leftrightarrow \left( {P – 3} \right)a + \left( {P – 2} \right)b + \left( {P – 1} \right)c = 0\)\(\left( {**} \right)\)

Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\) lấy \(M\left( {a;b;c} \right)\).

Theo \(\left( * \right)\) ta có \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(I\left( {1;1;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \).

Theo \(\left( {**} \right)\) thì \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có:

Phương trình \(\left( {P – 3} \right)x + \left( {P – 2} \right)y + \left( {P – 1} \right)z = 0\).

Tồn tại bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) khi và chỉ khi tồn tại \(M\).

Suy ra \(d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) \le R\)

Hay \(\frac{{\left| {3P – 6} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {P – 3} \right)}^2} + {{\left( {P – 2} \right)}^2} + {{\left( {P – 1} \right)}^2}} }} \le \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow {\left( {3P – 6} \right)^2} \le 2.\left[ {{{\left( {P – 3} \right)}^2} + {{\left( {P – 2} \right)}^2} + {{\left( {P – 1} \right)}^2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow 3{P^2} – 12P + 8 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{6 – 2\sqrt 3 }}{3} \le P \le \frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy \(S = \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Tư duy + Casio + Mẹo

Nhận thấy: Quy đổi \(a,b,c\) về dạng chung \( \Rightarrow \) biến thành 1 ẩn chung là \(a\).

Ta có: \(2\left( {{2^{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} – 1} \right) + {\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} + {\left( {c – 1} \right)^2} = {4^{a + b + c}}\)

\( \Rightarrow 2\left( {{2^{3{a^2}}} – 1} \right) + 3{\left( {a – 1} \right)^2} = {4^{3a}}\), dò bảng tìm giá trị nguyên của \(P\).

Vậy chỉ có 3 giá trị \(a\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đối với tại \(x = a = 0\), còn đồi với \(x = a = 4,…\) 

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========