.Cho \(x,{\rm{ }}y\)là các số thực thỏa mãn biểu thức \({\log _2}(2x + 2) + x – 3y = {8^y}(*)\).

Biết \(0 \le x \le 2018\), số cắp \(x,{\rm{ }}y\) nguyên thỏa mãn đẳng thứclà

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

ĐỀ BÀI:

.Cho \(x,{\rm{ }}y\)là các số thực thỏa mãn biểu thức \({\log _2}(2x + 2) + x – 3y = {8^y}(*)\).

Biết \(0 \le x \le 2018\), số cắp \(x,{\rm{ }}y\) nguyên thỏa mãn đẳng thứclà

A. \(2\). 

B. \(3\). 

C. \(4\). 

D. \(5\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

-Tự luận:

Ta có \({\log _2}(2x + 2) + x – 3y = {8^y} \Leftrightarrow {2^{{{\log }_2}(x + 1)}} + {\log _2}(x + 1) = {2^{3y}} + 3y{\rm{ (1)}}\)

Xét hàm số \(f(t) = {2^t} + t\)có \(f'(t) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R}\).

Khi đó \((1) \Leftrightarrow f({\log _2}(x + 1)) = f(3y) \Leftrightarrow {\log _2}(x + 1) = 3y \Leftrightarrow x = {2^{3y}} – 1\)

Với \(0 \le x \le 2018 \Leftrightarrow 1 \le {8^y} \le 2019 \Leftrightarrow 0 \le y \le {\log _8}2019 \approx 3,7.\)

Vì \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\). Rõ ràng với \(y\)nguyên thì \(x\) nguyên.

Vậy có 4 cặp số \(x,{\rm{ y}}\) nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

-Tư duy + C. asio:

+ Đặt \({8^y} = M \to y = {\log _8}M \Rightarrow {\log _2}(2x + 2) + x – 3{\log _8}M – M\)

+Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho \(M = 100 \to x = 99 = M – 1 = {8^y} – 1\)

+Với \(0 \le x \le 2018 \Leftrightarrow 1 \le {8^y} \le 2019 \Leftrightarrow 0 \le y \le {\log _8}2019 \approx 3,7.\)

Vì \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\). Rõ ràng với \(y\)nguyên thì \(x\) nguyên.

Vậy có 4 cặp số \(x,{\rm{ y}}\) nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. ĐẠO HÀM g'(x)

2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)

3. Lập BBT xét dấu g'(x)

4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.

===========