Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({2^{2{x^2} – 15x + 100}} – {2^{{x^2} + 10x – 50}} + {x^2} – 25x + 150 < 0\) là

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({2^{2{x^2} – 15x + 100}} – {2^{{x^2} + 10x – 50}} + {x^2} – 25x + 150 < 0\) là

A. \(6\). 

B. \(3\). 

C. \(5\). 

D. \(4\). 

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \({2^{2{x^2} – 15x + 100}} – {2^{{x^2} + 10x – 50}} + {x^2} – 25x + 150 < 0\). 

\( \Leftrightarrow {2^{2{x^2} – 15x + 100}} – {2^{{x^2} + 10x – 50}} + 2{x^2} – 15x + 100 – \left( {{x^2} + 10x – 50} \right) < 0\). 

Đặt \(a = 2{x^2} – 15x + 100\), \(b = {x^2} + 10x – 50\). 

Khi đó bất phương trình trở thành: \({2^a} – {2^b} + a – b < 0\) \( \Leftrightarrow  – {2^a} – a >  – {2^b} – b\)\(\left( 1 \right)\). 

Xét hàm số \(f\left( t \right) =  – {2^t} – t\) có \(f’\left( t \right) =  – {2^t}\ln 2 – 1 < 0\) với \(\forall t \in \mathbb{R}\). 

Suy ra \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). 

Bất phương trình \(\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow a < b\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} – 15x + 100 < {x^2} + 10x – 50\) \( \Leftrightarrow {x^2} – 25x + 150 < 0\).

\( \Leftrightarrow 10 < x < 15\). 

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {11;12;13;14} \right\}\). 

Vậy bất phương trình có \(4\) nghiệm nguyên.