Cho hàm số \(f(x) = {{\rm{e}}^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{{\rm{e}}^x} – {{\rm{e}}^{ – x}}} \right)\). Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) thỏa mãn bất phương trình \(f(m – 7) + f\left( {\frac{{12}}{{m + 1}}} \right) \le 0\)? 

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Cho hàm số \(f(x) = {{\rm{e}}^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{{\rm{e}}^x} – {{\rm{e}}^{ – x}}} \right)\). Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) thỏa mãn bất phương trình \(f(m – 7) + f\left( {\frac{{12}}{{m + 1}}} \right) \le 0\)? 

A. \(4\). 

B. \(3\). 

C. \(5\). 

D. \(6\). 

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) là tập đối xứng.

Ta có \(f(x) = {{\rm{e}}^{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} – {{\rm{e}}^{ – x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\) và \(f( – x) = {{\rm{e}}^{ – x + \sqrt {{x^2} + 1} }} – {{\rm{e}}^{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} =  – \left( {{{\rm{e}}^{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} – {{\rm{e}}^{ – x + \sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) =  – f(x)\). 

Suy ra \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

Ta có \(f'(x) = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right){{\rm{e}}^{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} + \left( {1 – \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right){{\rm{e}}^{ – x + \sqrt {{x^2} + 1} }} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\). 

\( \Rightarrow \) \(f\left( x \right)\) đđồng biến trên \(\mathbb{R}\). 

\(f(m – 7) + f\left( {\frac{{12}}{{m + 1}}} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow f(m – 7) \le  – f\left( {\frac{{12}}{{m + 1}}} \right) = f\left( { – \frac{{12}}{{m + 1}}} \right)\).

\( \Leftrightarrow m – 7 \le  – \frac{{12}}{{m + 1}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 \le m \le 5\\m <  – 1\end{array} \right..\)

Vì \(m\) là số nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}.\)

Vậy có \(5\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.