Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi giá trị của \(y\), bất phương trình \(\left( {{{\log }_3}x + x – 1} \right)\left( {y – {{\log }_3}x} \right) > 0\) cónghiệm \(x\) và có không quá 15 nghiệm \(x\) nguyên?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi giá trị của \(y\), bất phương trình \(\left( {{{\log }_3}x + x – 1} \right)\left( {y – {{\log }_3}x} \right) > 0\) cónghiệm \(x\) và có không quá 15 nghiệm \(x\) nguyên?

A. \(0\). 

B. \(1\). 

C. \(2\). 

D. \(3\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện \(x > 0\)

Đặt \(f\left( x \right) = {\log _3}x + x – 1\)\( \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{1}{{x.\ln 3}} + 1 > 0\,\,\,\,\forall x > 0\)

Nên hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).

Mặt khác \(f\left( 1 \right) = 0\) nên \(f\left( x \right) > f\left( 1 \right) \Leftrightarrow x > 1\), \(f\left( x \right) < f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0 < x < 1\).

Ta có \(\left( {{{\log }_3}x + x – 1} \right)\left( {y – {{\log }_3}x} \right) > 0\)\(\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}x + x – 1 < 0\\{\log _3}x > y\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}x + x – 1 > 0\\{\log _3}x < y\end{array} \right.\,\,\left( {II} \right)\end{array} \right.\)

Hệ \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}0 < x < 1\,\,\\x > {3^y}\,\,\,\end{array} \right.\,\) để hệ có nghiệm \(x\) thì \({3^y} < 1 \Leftrightarrow y < 0\). Không có số nguyên dương \(y\)nào thỏa mãn.

Hệ \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\,\,\\x < {3^y}\,\,\,\end{array} \right.\,\)để hệ có nghiệm và không quá 15 nghiệm nguyên \(x\) thì\(1 < {3^y} \le 17 \Leftrightarrow \)\(y \le {\log _3}17 \approx 2,6\). Mà \(y\) nguyên dương nên \(y \in \left\{ {1;\,2} \right\}\).

Vậy có đúng hai số nguyên dương \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.