Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) thì bất phương trình\(({3^x} + x{.3^x} + 9)({3^x} – y) < 0\) có đúng 5 nghiệm nguyên dương \(x\)? 

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) thì bất phương trình\(({3^x} + x{.3^x} + 9)({3^x} – y) < 0\) có đúng 5 nghiệm nguyên dương \(x\)? 

A. \(244\). 

B. \(243\). 

C. \(486\). 

D. \(242\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét \(g(x) = {3^x} + x{.3^x} + 9\); \(g'(x) = {3^x}.\ln 3 + {3^x} + x{.3^x}\ln 3 = {3^x}\left[ {\ln 3 + 1 + x\ln 3} \right]\) 

\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} = 0\\\ln 3 + 1 + x\ln 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{ – \ln 3 – 1}}{{\ln 3}}\) 

BBT

Do \(g(\frac{{ – \ln 3 – 1}}{{\ln 3}}) = {3^{\frac{{ – \ln 3 – 1}}{{\ln 3}}}} + (\frac{{ – \ln 3 – 1}}{{\ln 3}}){.3^{\frac{{ – \ln 3 – 1}}{{\ln 3}}}} + 9 > 0\) 

Từ \(({3^x} + x{.3^x} + 9)({3^x} – y) < 0\) do \({3^x} + x{.3^x} + 9 > 0\quad \forall x\) nên suy ra \({3^x} < y\) \( \Leftrightarrow x < {\log _3}y\)

Để bất phương trình có đúng 5 nghiệm nguyên dương của \(x\)\(\left( {x \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}} \right)\)thì ta cần

\(\begin{array}{l}5 < {\log _3}y \le 6 \Leftrightarrow {3^5} < y \le {3^6} \Leftrightarrow 243 < y \le 729\left( {y \in {\mathbb{Z}^ * }} \right)\\ \Rightarrow y \in \left\{ {244;245;…;729} \right\}\end{array}\)

Vậy có \(729 – 244 + 1 = 486\) số.