Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi giá trị \(y\), tồn tại nhiều nhất \(10\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} – 2x} \right)\left( {{{\log }_3}x – y} \right) < 0\)?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi giá trị \(y\), tồn tại nhiều nhất \(10\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} – 2x} \right)\left( {{{\log }_3}x – y} \right) < 0\)?

A. \(3\). 

B. \(1\). 

C. \(0\). 

D. \(2\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(\left( {{x^2} – 2x} \right)\left( {{{\log }_3}x – y} \right) < 0\) với \(x \in {\mathbb{Z}^ + },y \in {\mathbb{Z}^ + }\) 

Trường hợp 1. \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 2x > 0\\{\log _3}x – y < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right.\\x < {3^y}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x < {3^y}\end{array} \right.\).

Vì \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\)nên \({3^y} > 2\). Khi đó ta có \(2 < x < {3^y}\)\( \Leftrightarrow x \in \left( {2;{3^y}} \right)\). Theo giả thiết, mỗi giá trị \(y\)có không quá \(10\) số nguyên \(x\) nên \(3 < {3^y} \le 13\)\( \Leftrightarrow 1 < y \le {\log _3}13\). Vậy có \(1\) giá trị \(y\) nguyên thỏa mãn.

Trường hợp 2. \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 2x < 0\\{\log _3}x – y > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 2\\x > {3^y}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\{3^y} < 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y < 0\end{array} \right.\).