6. Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm bậc ba có \(f’\left( 0 \right) =  – 3\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
6. Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm bậc ba có \(f’\left( 0 \right) =  – 3\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau

Hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^3} – 3x + m} \right) – \frac{{{x^6}}}{2} + 3{x^4} – {x^3} – \frac{9}{2}{x^2} + 3x – 1\) có bao nhiêu cực trị biết \(m\) là giá trị lớn nhất của \(P = \frac{{\sqrt 3 \sin x}}{{\cos x + 2}}\).

A. \(10\).

B. \(9\).

C. \(7\).

D. \(8\)

Lời giải

Từ bảng biến thiên \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – 1}\\{x = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow f’\left( x \right) = k\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\).

Mà \(f’\left( 0 \right) =  – 3 \Rightarrow k = 3 \Rightarrow f’\left( x \right) = 3\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 3{x^2} – 3\).

Theo bài ra \(P = \frac{{\sqrt 3 \sin x}}{{\cos x + 2}} \Rightarrow \sqrt 3 \sin x – P\cos x = 2P\).

Điều kiện \(P\)có nghiệm là \({\left( {2P} \right)^2} \le {P^2} + 3 \Leftrightarrow  – 1 \le P \le 1\).Nên \(m = 1\).

Khi đó \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^3} – 3x + 1} \right) – \frac{{{x^6}}}{2} + 3{x^4} – {x^3} – \frac{9}{2}{x^2} + 3x – 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}g’\left( x \right) = \left( {3{x^2} – 3} \right)f’\left( {{x^3} – 3x + 1} \right) – 3{x^5} + 12{x^3} – 3{x^2} – 9x + 3\, = \left( {3{x^2} – 3} \right)\left[ {f’\left( {{x^3} – 3x + 1} \right) – \left( {{x^3} – 3x + 1} \right)} \right]\\ \Rightarrow g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  \pm 1}\\{f’\left( {{x^3} – 3x + 1} \right) = {x^3} – 3x + 1\,\,\,\left( 1 \right)}\end{array}} \right.\end{array}\)

Đặt \({x^3} – 3x + 1 = t\) suy ra \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f’\left( t \right) = t\, \Leftrightarrow 3{t^2} – 3 = t \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{1 + \sqrt {37} }}{6}}\\{t = \frac{{1 – \sqrt {37} }}{6}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \approx 1,76137}\\{x \approx  – 0,0602}\\{x \approx  – 1,7011}\\{x \approx 1,21796}\\{x \approx 0,76486}\\{x \approx  – 1,9828}\end{array}} \right.\).

Do đó \(g’\left( x \right) = 0\) có \(8\) nghiệm đơn.Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) có \(8\) cực trị.