Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Biết hàm số đạt cực trị tại các điểm \({x_1},\,{x_2},\,{x_3}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai bằng 1 và \(f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_3}} \right)\), gọi \({S_1},\,{S_2}\) là diện tích hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tính tỷ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}.\)

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Biết hàm số đạt cực trị tại các điểm \({x_1},\,{x_2},\,{x_3}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai bằng 1 và \(f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_3}} \right)\), gọi \({S_1},\,{S_2}\) là diện tích hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tính tỷ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}.\)

A. \(\frac{7}{{15}}\). 

B. \(\frac{6}{{15}}\). 

C. \(\frac{7}{8}\). 

D. \(\frac{7}{{16}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tịnh tiến đồ thị \(y = f\left( x \right)\) sang phải sao cho đường thẳng \(\Delta  \equiv Oy\) (\(\Delta \) vuông góc với \(Ox\)tại \({x_2}\)) ta được hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Khi đó ta thấy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) đối xứng nhau qua trục \(Oy \Rightarrow y = g\left( x \right)\) là hàm số chẵn và đồ thị hàm số đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right).\)

Mà \(y = g\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn suy ra \(g\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2}\,\,\left( {a < 0} \right)\).

Từ giả thiết ta có \(g’\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx = 0\) có các nghiệm tương ứng \( – 1;0;1 \Rightarrow b =  – 2a \Rightarrow g\left( x \right) = a{x^4} – 2a{x^2}\,\,\).

\({S_1} = \int\limits_{ – 1}^0 {\left( {a{x^4} – 2a{x^2}} \right)} \,dx =  – \frac{7}{{15}}a;\)\({S_2} = {S_{hcn}} – 2{S_1} =  – 2a + \frac{{14}}{{15}}a =  – \frac{{16}}{{15}}a.\)

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{7}{{16}}.\)