Cho hàm số bậc bốn \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\) có đồ thị là đường congnhư hình bên. Biết hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị lập thành cấp số cộng có công sai \(d = \frac{3}{2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_3} =  – 1\)và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.Gọi S₁ và S₂,S₃là diện tích của cáchình phẳng được gạch trong hình bên. Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2} + {S_3}}}\)

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc bốn \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\) có đồ thị là đường congnhư hình bên. Biết hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị lập thành cấp số cộng có công sai \(d = \frac{3}{2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_3} =  – 1\)và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.Gọi S₁ và S₂,S₃là diện tích của cáchình phẳng được gạch trong hình bên. Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2} + {S_3}}}\)

A. \(2.\) 

B. \(3.\) 

C. \(5.\) 

D. \(4.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Hàm số đã cho có dạng \(f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + {d_1}x + e \Rightarrow f'(x) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + {d_1}\).

Từ giả thiếtta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_3} =  – 1\\d = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_2} =  – 1\\{x_3} = {x_2} + d\\{x_2} = {x_1} + d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{{ – 1}}{2}\\{x_3} = 1\\{x_1} =  – 2\end{array} \right.\).

Do vậy ta thấy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là \((1;0)\),\(\left( { – \frac{1}{2};{y_2}} \right)\)và\(( – 2;0)\) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên ta có hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(0)}& = &1\\{f( – 2)}& = &0\\{f’\left( {\frac{{ – 1}}{2}} \right)}& = &0\\{f'( – 2)}& = &0\\{f'(1)}& = &0\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}e& = &1\\{16a – 8b + 4c – 2{d_1}}& = &{ – 1}\\{\frac{{ – 1}}{2}a + \frac{3}{4}b – c + d{}_1}& = &0\\{ – 32a + 12b – 4c + {d_1}}& = &0\\{4a + 3b + 2c + {d_1}}& = &0\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}e& = &1\\a& = &{\frac{1}{4}}\\b& = &{\frac{1}{2}}\\c& = &{\frac{{ – 3}}{4}}\\{{d_1}}& = &{ – 1}\end{array}} \right..\)

Do đó \(f(x) = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^3} – \frac{3}{4}{x^2} – x + 1\).

Diện tích hình phẳng\({S_2} + {S_3} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)} dx = \frac{8}{5}\).

Vậy: \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2} + {S_3}}} = \frac{{8 – \frac{8}{5}}}{{\frac{8}{5}}} = 4\).