Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc bốn \(y = f(x)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Biết hàm số đạt cực trị tại các điểm\({x_1};\,{x_2};\,{x_3}\) sao cho \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 2\sqrt 2 \) và \(f({x_1}) + f({x_2}) + f({x_3}) = 4\), đồ thị nhận đường thẳng \(x = {x_2}\) làm trục đối xứng. Gọi \({S_1};\,{S_2}\) là diện tích hai hình phẳng được gạch như hình vẽ bên. Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)
A. \(\frac{4}{5}\).
B. \(\frac{5}{6}\).
C. \(\frac{6}{7}\).
D. \(\frac{7}{8}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT\(\)
Ta tịnh tiến đồ thị sang trái sao cho trục đối xứng trùng với \(Oy\), ta được hàm số \(y = g\left( x \right)\), rõ ràng diện tích \({S_1};\,{S_2}\) là không đổi.
Theo đề bài \(f({x_1}) + f({x_2}) + f({x_3}) = 4\) mà \(f({x_1}) = f({x_3}) = 0 \Rightarrow f({x_2}) = 4\)
Mà \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 2\sqrt 2 \), nên hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực trị tại điểm \({x_1};\,{x_2};\,{x_3}\) và \( – {x_1} + 0 + {x_3} = 2\sqrt 2 \,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác lúc này hàm\(g\left( x \right)\) có dạng \(y = g(x) = a{x^4} + b{x^2} + 4\,\,\,(a > 0) \Rightarrow g'(x) = 4a{x^3} + 2bx\).
Mà \({x_1} = – {x_3}\) kết hợp \(\left( 1 \right) \Rightarrow {x_3} = \sqrt 2 \Rightarrow g’\left( {\sqrt 2 } \right) = 8a\sqrt 2 + 2b\sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow b = – 4a\)
\( \Rightarrow g(x) = a{x^4} – 4a{x^2} + 4\), do \(g({x_3}) = f\left( {\sqrt 2 } \right) = 0 \Rightarrow a = 1\).
Vậy ta có hàm số \(g(x) = {x^4} – 4{x^2} + 4\).
Gọi \(S\) là diện tích hình chữ nhật được ghép từ \({S_1};\,{S_2}\) suy ra \({S_2} = \int\limits_{ – \sqrt 2 }^0 {({x^4} – 4{x^2} + 4)dx = \frac{{32\sqrt 2 }}{{15}}} \).
\(S = 4\sqrt 2 \Rightarrow {S_1} = S – {S_2} = 4\sqrt 2 – \frac{{32\sqrt 2 }}{{15}} = \frac{{28\sqrt 2 }}{{15}} \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{7}{8}.\)
Để lại phản hồi