Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Biết rằng parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2x\) chia đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 8\) thành hai phần lần lượt có
diện tích là \({S_1}\), \({S_2}\) (như hình vẽ). Khi đó \({S_2} – {S_1} = a\pi – \frac{b}{c}\) với \(a,b,c\) nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là
phân số tối giản. Tính \(S = a + b + c\).
A. \(S = 13\).
B. \(S = 16\).
C. \(S = 15\).
D. \(S = 14\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 8\\{y^2} = 2x\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x – 8 = 0\\{y^2} = 2x\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 4 \vee x = 2\\{y^2} = 2x\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\{y^2} = 4\end{array} \right.\).
\({S_1} = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {2x} {\rm{d}}x} + 2\int\limits_2^{2\sqrt 2 } {\sqrt {8 – {x^2}} } {\rm{d}}x\)
\({I_1} = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {2x} {\rm{d}}x} = \left. {\left( {2.\sqrt 2 .\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right)} \right|_0^2 = \frac{{16}}{3}\).
\({I_2} = 2\int\limits_2^{2\sqrt 2 } {\sqrt {8 – {x^2}} } {\rm{d}}x\)
Đặt \(x = 2\sqrt 2 \cos t\)\( \Rightarrow {\rm{d}}x = – 2\sqrt 2 \sin t{\rm{d}}t\)
\(x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\), \(x = 2\sqrt 2 \Rightarrow t = 0\).
\({I_2} = 2\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^0 {\sqrt {8 – 8{{\cos }^2}t} \left( { – 2\sqrt 2 \sin t{\rm{d}}t} \right)} \)\( = 16\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}t{\rm{d}}t} \) \( = 8\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 – \cos 2t} \right){\rm{d}}t} \)\( = 8\left. {\left( {t – \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\)\( = 2\pi – 4\).
\( \Rightarrow {S_1} = {I_1} + {I_2} = 2\pi + \frac{4}{3}\).
\( \Rightarrow {S_2} = \pi {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} – {S_1} = 6\pi – \frac{4}{3}\).
\( \Rightarrow {S_2} – {S_1} = 4\pi – \frac{8}{3}\).
Vậy \(a = 4\), \( = 8\), \(c = 3\) \( \Rightarrow S = a + b + c = 15\).
Để lại phản hồi