Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), một \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M(2;2;2)\) và cắt các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A\), \(B\), \(C\) sao cho mặt cầu tâm \(I(m;n;p)\) ngoại tiếp tứ diện \(OABC\)có thể tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị \(2m + n + q\) bằng bao nhiêu?

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)

===============

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), một \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M(2;2;2)\) và cắt các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A\), \(B\), \(C\) sao cho mặt cầu tâm \(I(m;n;p)\) ngoại tiếp tứ diện \(OABC\)có thể tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị \(2m + n + q\) bằng bao nhiêu?

A. \(9\). 

B. \(18\). 

C. \(12\). 

D. \(24\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt phẳng \((P)\) cắt các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),\,C\left( {0;0;c} \right)\) (\(a,b,c > 0)\) Khi đó \((P)\) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) có bán kính \(R = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\)

Thể tích khối cầu là: \({V_{\left( S \right)}} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{{\sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}} }}{8} = \frac{\pi }{6}\sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}} \)

\(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {2;2;2} \right)\) nên thỏa mãn: \(\frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} = 1 \Leftrightarrow 2bc + 2ac + 2ab = abc\).

Ta có: \(abc = 2bc + 2ac + 2ab \ge 3\sqrt[3]{{8{{(abc)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {abc} \right)^3} \ge 27.8{\left( {abc} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow abc \ge 216\)

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} = 3\sqrt[3]{{{{216}^2}}} = 108\)\( \Rightarrow {V_{\left( S \right)}} \ge 108\pi \sqrt 3 \)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\\frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} = 1\\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 6\\c = 6\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I(3;3;3)\).

Suy ra \(\min {V_{\left( S \right)}} = 108\pi \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow I(3;3;3)\).

Vậy \(2m + n + q = 12\).

=================

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)