Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, cạnh $a$ góc $\widehat{A}=60^0 $ và có đường cao $SO=a$$a.$ Tính khoảng cách từ $O$ đến $(SBC)$$b.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD,SB$

Lời giải

$a.$ Hạ $OI$ vuông góc với $BC$ và kéo dài $OI$ cắt $AD$ tại $J$
Ta có :
$\begin{cases} BC\bot OI\\BC\bot SO\end{cases} \Rightarrow  BC\bot (SOI)$
$\Rightarrow  (SBC)\bot (SOI)$ và $(SBC)\cap (SOI)=SI$
Hạ $OH$ vuông góc với $SI$, ta có ngay $OH\bot (SBC)$
Vậy $OH$ là khoảng cách từ điểm $O$ tới $(SBC)$

Với hình thoi $ABCD$ ta có :
$BD=a$ vì $\Delta ABD$ đều $\Rightarrow  OB=\frac{a}{2} $
$AC=2AO=2\frac{a\sqrt{3} }{2} =a\sqrt{3} $
Trong $\Delta OBC$ vuông tại $O$ ta có :
$\frac{1}{OI^2}=\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}   =\frac{1}{(\frac{a}{2}   )^2}+\frac{1}{(a\sqrt{3}  )^2}=\frac{13}{3a^2}   \Rightarrow  OI=\frac{a\sqrt{39} }{13} $
Trong $\Delta SAE$ vuông tại $A$, ta có :
$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{SO^2}+\frac{1}{OI^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(\frac{a\sqrt{39} }{13} )^2}  =\frac{16}{3a^2}\Rightarrow  OH=\frac{a\sqrt{3} }{4}     $
Vậy khoảng cách từ $O$ đến $(SBC)$ bằng $\frac{a\sqrt{3} }{4} $
$b.$ Nhận xét rằng :
$AD//BC\Rightarrow  AD//(SBC)$
$\Rightarrow  d(AD,SB)=d(AD,(SBC))=d(J,(SBC))$
Mặt khácta lại có $JO\cap (SBC)=I$ nên :
$\frac{d(J,(SBC))}{d(O,(SBC))} =\frac{JI}{OI} =2$
$\Rightarrow  d(J,(SBC))=2d(O,(SBC))=2OH=\frac{a\sqrt{3} }{2} $