Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$.Một điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ và một điểm $N$ thuộc cạnh $CD$ sao cho : $\frac{AM}{AB}=\frac{DN}{DC}=k  $$a.$ Chứng minh ba đường thẳng $BC,MN,AD$ luôn song song với một mặt phẳng cố định khi $k$ thay đổi$b.$ Một điểm $P$ trên $BD$ và một điểm $Q$ trên $AC$ sao cho :$\frac{PD}{BD}=\frac{AQ}{AC}=k'    $Chứng minh rằng hai  đường thẳng $MN,PQ$ cắt nhau khi và chỉ khi $k=k'$

Lời giải

$a.$ Gọi $E,F,G,H$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB,BD,DC,CA$.Dễ thấy bốn điểm $E,F,G,H$ cùng nằm trong một mặt phẳng cố định không phụ thuộc vào $k$
$AD//EF\Rightarrow  AD//(EFGH)$
$BC//EH\Rightarrow  BC//(EFGH)$
Bây giờ ta chứng minh $MN$ cùng song song với $EFGH$
Gọi $R$ là giao điểm của đường thẳng kẻ qua $M$ và song song với $BC$ với cạnh $AC$.Ta có :
$MR//BC\Rightarrow  MR//EH          (1)$
$MR//BC\Rightarrow  \frac{AR}{AC}=\frac{AM}{AB}=k  $
Suy ra : $\frac{AR}{AC}=\frac{DN}{DC}\Rightarrow  MR//AD  $
$\Rightarrow  NR//HG          (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra hai mặt phẳng $(MNR),(EFGH)$ song song với nhau mà $MN\in (MNR)$ nên $MN//(EFGH)$
Vậy khi $k$ thay đổi ba đường thẳng $BC,MN,AD$ luôn song song với mặt phẳng $(EFGH)$
$b.$ Ta cũng chứng minh được $PQ//(EFGH)$.Do vậy :
– Khi $k=k’$ thì bốn điểm $P,Q,M,N$ cùng nằm trên một mặt phẳng $\alpha ;\alpha //(EFGH)\Rightarrow  PQ,MN$ cũng thuộc $mp(\alpha )$ và chúng cắt nhau bởi nếu chúng song song với nhau thì dẫn đến bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng
– Khi $MN$ cắt $QP$ thì $(MNPQ)$ song song với $(EFGH)\Rightarrow  MQ//EH$
$\frac{AM}{AB}=\frac{AQ}{AC}\Rightarrow  k=k’  $