Đề bài: Gọi $(C_m)$ là đồ thị hàm số $y=mx^3-3x$.a) Chứng minh rằng tồn tại một điểm cố định mà tất cả các đường cong $(C_m)$ đều đi qua với mọi $m$.b) Chứng minh rằng tại điểm cố định đó tất cả các đường cong $(C_m)$ đề có chung một tiếp tuyến.
Lời giải
a)
Từ $y=mx^3-3x$, ta luôn có $x=0\Rightarrow y=0 \forall m$.
Nên $(C_m)$ đi qua điểm $O(0;0) \forall m $ .
Vậy tồn tại điểm O cố định mà $(C_m)$ luôn đi qua với mọi m.
b)
Điểm $O(0;0) \in (C_m)$
$\Rightarrow y'(x)=3mx^2 – 3$
$\Rightarrow y'(0)=-3$.
Suy ra tiếp tuyến của $(C_m)$ tại O là:
$(\Delta):y=y'(0)(x-0)+y(0)$
$=-3x.$
Vậy tại điểm $O(0;0)$ của $(Cm)$ có một tiếp tuyến $y=-3x$.
Suy ra đpcm.
Trả lời