Đề: Xét hàm số $y =  – 2x + k\sqrt {{x^2} + 1} $a) Với $k = 3$ hãy lập bảng biến thiên của hàm số và xác định các tiệm cận của đồ thị.b) Với giá trị nào của $k$ thì hàm số có cực tiểu.

Đề bài: Xét hàm số $y =  – 2x + k\sqrt {{x^2} + 1} $a) Với $k = 3$ hãy lập bảng biến thiên của hàm số và xác định các tiệm cận của đồ thị.b) Với giá trị nào của $k$ thì hàm số có cực tiểu.

Lời giải

a) Với $k = 3$, ta có hàm số
        $y = – 2x + 3\sqrt {{x^2} + 1} $
Hàm số được xác định với mọi $x$ và có đạo hàm
        $y’ = – 2 + \frac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{3x – 2\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$
 Ta có
    $y’ \ge 0 \Leftrightarrow 3x \ge 2\sqrt {{x^2} + 1} $,
Suy ra $x > 0$; bình phương hai vế ta được
    $9{x^2} \ge 4({x^2} + 1) \Rightarrow x > 2/\sqrt {15} $
Từ đó ta có bảng biến thiên:
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\sqrt {{x^2} + 1}  – \left| x \right|) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(\sqrt {{x^2} + 1}  – \left| x \right|)(\sqrt {{x^2} + 1}  + \left| x \right|)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + \left| x \right|}}$
         $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + \left| x \right|}} = 0$ nên tiệm cận xiên là $y =  – 2x + 3\left| x \right|$
Vậy tiệm cận xiên bên trái $(x \to – \infty  \Rightarrow \left| x \right| = – x)$ là $y = – 5x$;
Tiệm cận xiên bên phải $(x \to +\infty  \Rightarrow \left| x \right| = x)$ là $y = x$

b) Trong trường hợp tổng quát hàm số có đạo hàm:
    $y’ = – 2 + \frac{{kx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }},{\rm{  y”}} = \frac{k}{{{{({x^2} + 1)}^{3/2}}}}$
Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại $x = {x_o}$ là $y'({x_o}) = 0$ và $y”({x_o}) > 0$ suy ra $k > 0$ và $k{x_o} = 2\sqrt {x_o^2 + 1}  \Rightarrow {x_o} > 0$ và ${k^2}x_o^2 = 4x_o^2 + 4 \Rightarrow ({k^2} – 4)x_o^2 = 4$.
Phương trình này phải có nghiệm, vậy ${k^2} – 4 > 0 \Rightarrow k > 2$
Tóm lại với $k > 2$ hàm số có cực tiểu; khi có cực tiểu đạt được tại ${x_o} = 2/\sqrt {{k^2} – 4} $