Dùng phương pháp quy nạp toán học chứng minh bài toán chia hết

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) :

\({n^3} + 2n\) chia hết cho 3.

Hướng dẫn:

Đặt \({A_n} = {n^3} + 2n\)

Với n= 1: \({A_n} = 1 + 2 = 3\, \vdots \,3\)

Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:

\({A_n} = {n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh:

\({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)

Ta có: \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\, = \,{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 + 2n + 2\)

\(= \,{n^3} + 2n + 3({n^2} + n + 1)\)

Theo giả thiết quy nạp: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\)

Đồng thời: \(3({n^2} + n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)

Vậy \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)

Kết luận: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\)

Ví dụ 2 . Cho $n$ là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: ${a_n} = {16^n} – 15n – 1 \vdots 225$.

+ Với $n = 1$ ta có: ${a_1} = 0 \Rightarrow {a_1} \vdots 225.$
+ Giả sử ${a_k} = {16^k} – 15k – 1 \vdots 225$, ta chứng minh: ${a_{k + 1}} = {16^{k + 1}} – 15(k + 1) – 1 \vdots 225.$
Thật vậy: ${a_{k + 1}} = {16.16^k} – 15k – 16$ $ = {16^k} – 15k – 1 – 15\left( {{{16}^k} – 1} \right)$ $ = {a_k} – 15\left( {{{16}^k} – 1} \right).$
Vì ${16^k} – 1$ $ = 15.\left( {{{16}^{k – 1}} + {{16}^{k – 2}} + … + 1} \right) \vdots 15$ và ${a_k} \vdots 225.$
Nên ta suy ra ${a_{k + 1}} \vdots 225.$
Vậy bài toán được chứng minh.

Ví dụ 3 . Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ thì $A(n) = {7^n} + 3n – 1$ luôn chia hết cho $9.$

+ Với $n = 1$ $ \Rightarrow A(1) = {7^1} + 3.1 – 1 = 9$ $ \Rightarrow A(1) \vdots 9.$
+ Giả sử $A(k) \vdots 9$, $\forall k \ge 1$, ta chứng minh $A(k + 1) \vdots 9.$
Thật vậy: $A(k + 1) = {7^{k + 1}} + 3(k + 1) – 1$ $ = {7.7^k} + 21k – 7 – 18k + 9$
$ \Rightarrow A(k + 1) = 7A(k) – 9(2k – 1)$.
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
A(k) \vdots 9\\
9(2k – 1) \vdots 9
\end{array} \right. \Rightarrow A(k + 1) \vdots 9.$
Vậy $A(n)$ chia hết cho $9$ với mọi số tự nhiên $n \ge 1.$

Ví dụ 4 . Cho $n$ là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: ${B_n} = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) \ldots .\left( {3n} \right)$ $ \vdots {3^n}.$

+ Với $n = 1$, ta có: ${B_1} = 2.3 \vdots 3.$
+ Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, tức là: ${B_k} $ $= \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) \ldots \left( {3k} \right) \vdots {3^k}.$
Ta chứng minh: ${B_{k + 1}} = \left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\left( {k + 4} \right)$ $ \ldots \left[ {3\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)} \right] \vdots {3^{k + 1}}.$
Ta có: ${B_{k + 1}} = 3\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)$ $ \ldots \left( {3k} \right)\left( {3k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)$ $ = 3{B_k}\left( {3k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right).$
Mà ${B_k} \vdots {3^k}$ nên suy ra ${B_{k + 1}} \vdots {3^{k + 1}}.$
Vậy bài toán được chứng minh.