Ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Đại số 11

1. Phương pháp quy nạp toán học và cách áp dụng.

Phương pháp quy nạp toán học:

Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n Є N^*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:

• Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1.
• Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ 1) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Chú ý:

Nếu phải chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) thì:

• Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.
• Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

2. Dãy số

Dãy số tăng :  Dãy số U_n được gọi là  dãy số tăng  nếu u_n+1 > u_n với mọi n Є N^*  ;

Dãy số giảm  : Dãy số U_n được gọi là  dãy số giảm  nếu u_n+1 < u_n với mọi n Є N^* .

3. Cấp số cộng

Nếu $(u_{n})$là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi

$u_{n+1}=u_{n}+d; n \in \mathbb{N^{*}}$

Nếu cấp số cộng $(u_{n})$có số hạng đầu $(u_{1})$và công sai $d$ thì số hạng tổng quát $(u_{n})$được xác định bởi công thức:

$u_{n}=u_{1}+(n-1)d; n\geq 2$

Cho cấp số cộng $(u_{n})$.Đặt $S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+….+u_{n}$

Khi đó

$S_{n}=\frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$(4)

Chú ý:   Vì $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$nên công thức (4) có thể viết:

$S_{n}=nu_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$(4′)

 

4. Cấp số nhân

Nếu $(u_{n})$là cấp số nhân với công bội q ta có công thức truy hồi:

$u_{n+1}-u_{n}.q; n \in \mathbb{N}$(1)

3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

ĐỊNH LÍ 2:

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đề là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_{k}^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}; k\geq 2$(3)

hay $|u_{k}|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+1}}$

4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cấp số nhân $(u_{n})$công bội q có thể viết dưới dạng:

$u_{1}, u_{1}q^{2}; u_{1}q^{3}; …; u_{1}q^{n-1}; ……$

Khi đó: $S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+….+u_{n}=u_{1}+u_{1}q+u_{1}q^{2}+u_{1}q^{3}+…+u_{1}q^{n-1}$(4)

Nhân hai vế của (4) với q ta được:

$q.S_{n}=u_{1}+u_{1}q^{2}+u_{1}q^{3}+…+u_{1}q^{n-1}$(5)

Trừ từng vế tương ứng của các đẳng thức (4) và (5) ta được:

$(1-q)S_{n}=u_{1}(1-q^{n})$

Cho cấp số nhân $(u_{n})$với công bội $q\neq 1$

Đặt: $S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+….+u_{n}$

Khi đó: $S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$