Bài 3. Nhị thức Niu-tơn – Chương 2 – Đại số 11

Bài toán

Xác định hệ số của số hạng chứa  \({x^m}\)  trong khai triển:

\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n}\) với \(x > 0\)      (\(p,q\) là các hằng số khác nhau).

Phương pháp giải:

Ta có:

\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {a{x^p}} \right)}^{n – k}}{{\left( {b{x^q}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k}{x^{np – pk + qk}}} \)

Số hạng chứa \({x^m}\) ứng với giá trị \(k\) thỏa: \(np – pk + qk = m\).

Từ đó tìm \(k = \frac{{m – np}}{{p – q}}\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) là: \(C_n^k{a^{n – k}}.{b^k}\) với giá trị \(k\) đã tìm được ở trên.

Nếu \(k\) không nguyên hoặc \(k > n\) thì trong khai triển không chứa \({x^m}\), hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý:  Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển

\(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}\) được viết dưới dạng \({a_0} + {a_1}x + … + {a_{2n}}{x^{2n}}\).

Ta làm như sau:

• Viết \(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{{\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)}^k}} \);
• Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng \({\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)^k}\) thành một đa thức theo luỹ thừa của x.
• Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của \({x^m}\).

Chú ý:  Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

• Tính hệ số \({a_k}\) theo \(k\) và \(n\);
• Giải bất phương trình \({a_{k – 1}} \le {a_k}\) với ẩn số \(k\);
• Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

Ví dụ 1:

Tìm hệ số x¹⁶ trong khai triền ( x²-2x )¹⁰.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \({\left( {{x^2} – 2x} \right)^{10}} = \,{\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^2})} ^{10 – k}}{\left. { – 2x} \right)^k}\)

\(= \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 – 2k}}{x^k}} {\left. { – 2} \right)^k} = \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 – k}}} {\left. { – 2} \right)^k}\)

Ta chọn: 20 – k= 16 \(\Leftrightarrow \,k = 4\)

=> Hệ số x¹⁶ trong khai triển là \(C_{10}^4 = 3360\)

Ví dụ 2:

Biết hệ số của x² trong khai triển của (1-3x)ⁿ là 90. Tìm n.

Hướng dẫn giải:

Với số thực \(x \ne 0\) và với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta có:

\({(1 – 3x)^n} = \,{[1 – (3x)]^n} = \,\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {(1)^{n – k}}{( – 3)^k}{x^k}\)

Suy ra hệ số của x² trong khai triển này là \({3^2}C_n^2\). Theo giả thiết, ta có:

\({3^2}C_n^2\) = 90 => \(C_n^2\, = 10\)

Từ đó ta có: \(\frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} = 10\, \Leftrightarrow \,n(n – 1)\, = \,20\)

\(\Leftrightarrow \,{n^2}\, – \,n = \,20\, \Leftrightarrow \,n = \, – 4\) ( loại) hoặc n= 5

Đáp số: n= 5

Ví dụ 3:

Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển \(f(x) = {\left( {x – \frac{2}{x}} \right)^{12}}{\rm{    (}}x \ne 0).\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(f(x) = {(x – 2.{x^{ – 1}})^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{12 – k}}.{{( – 2{x^{ – 1}})}^k}} \)

\(\sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{( – 2)}^k}{x^{12 – 2k}}} \)

Số hạng không chứa \(x\) ứng với giá trị \(k\) thỏa mãn: \(12 – 2k = 0\)

\( \Leftrightarrow k = 6 \Rightarrow \) số hạng không chứa \(x\) là: \(C_{12}^6{.2^6} = 59136\).

Ví dụ 4:

Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển sau: \(f(x) = {(3{x^2} + 2x + 1)^{10}}\).

Hướng dẫn giải:

\(f\left( x \right) = {\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}\)

\( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(2x)^{k – i}}.{(3{x^2})^i} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {2^{k – i}}{.3^i}{x^{k + i}}\)

với\(0 \le i \le k \le 10\).

Do đó \(k + i = 4\) với các trường hợp \(i = 0,k = 4\) hoặc \(i = 1,k = 3\) hoặc \(i = k = 2\).

Vậy hệ số chứa \({x^4}\): \({2^4}C_{10}^4.C_4^0 + {2^2}{3^1}C_{10}^3.C_3^1 + {3^2}C_{10}^2.C_2^2 = 8085\).