Đề: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=a, \(\widehat {ACB} = {60^0}.\) Đường chéo BC’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc \({30^0}\) . Tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp một hình lăng trụ.

Bước 1: Xác định tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ.

Gọi I và I’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’

Ta có: I và I’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của 2 đáy ABC và A’B’C’

Lấy O là trung điểm của II’. \( \Rightarrow \) O là tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ.

\( \Rightarrow \) OB là bán kính đường tròn ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’

Bước 2: Tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ

A là hình chiếu của B lên mp(AA’C’C) nên góc tạo bởi BC’ và mp(AA’C’C) là \(BC’A = {30^0}\)

Tam giác ABC vuông tại A có: \(AC = a,ACB = {60^0} \Rightarrow AB = a\sqrt 3 \)

Tam giác ABC’ vuông tại A có: \(BC’ = \frac{{AB}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\sqrt 3 \)

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

\(R = OB = \frac{{BC’}}{2} = a\sqrt 3 \) (đvđd)