Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính R. Một hình nón \(\left( N \right)\) có chiều cao \(x\left( {0 < x < 2R} \right)\) nội tiếp trong hình cầu \(\left( S \right).\) Gọi \({V_S},{V_N}\) lần lượt là thể tích của khối cầu \(\left( S \right)\) và khối nón \(\left( N \right).\) Giá trị lớn nhất của tỉ số \(\frac{{{V_N}}}{{{V_S}}}\) bằng bao nhiêu?

Mặt phẳng thiết diện vuông góc với đáy của hình nón và đi qua đường cao của hình nón như hình vẽ bên.

Chuẩn hóa \(R = 1,HM = x\) là chiều cao của khối nón

Tam giác IMA vuông tại M, có \(AM = \sqrt {I{A^2} – I{M^2}}  = \sqrt {2{\rm{x}} – {x^2}} .\)

Khối nón (N) có chiều cao \(h = x,\) bán kính đáy \(r = AM = \sqrt {2x – {x^2}} .\)

\( \Rightarrow {V_N} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi \left( {2{\rm{x}} – {x^2}} \right)x = \frac{1}{3}\pi {{\rm{x}}^2}\left( {2 – x} \right) = \frac{4}{3}\pi .\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\left( {2 – x} \right)\)

\(\,\,\,\,\, \le \frac{4}{3}\pi .\frac{{{{\left( {\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + 2 – x} \right)}^3}}}{{27}} = \frac{4}{3}\pi .\frac{{{2^3}}}{{27}} = \frac{{32}}{{81}} \Rightarrow \frac{{{V_N}}}{{{V_S}}} = \frac{{32}}{{81}}\pi :\left( {\frac{4}{3}\pi } \right) = \frac{8}{{27}}.\)