Đề: Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên hợp với đáy một góc bằng \(60^\circ \). Kí hiệu \({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).

+) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Ta có \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO\) là trục

đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) dựng đường thẳng trung

trực của đoạn \(SA\) cắt \(SA,SO\) lần lượt \(H,I\).

Suy ra \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

\(S.ABCD\)

Ta có \(SA = \frac{{AO}}{{\cos \widehat {SAO}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}}a\sqrt 2 \)

Ta có \(SI = \frac{{SH}}{{\cos \widehat {HSI}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow {R_{mc}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Suy ra thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{8\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}\)

+) Khối nón ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) có bán kính đáy \(r = OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và chiều cao \(h = SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Suy ra thể tích \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\). Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{32}}{9}\).