Lý thuyết Ôn tập chương I Giải tích 12

1. Kiến thức cần nhớ

• Sự đơn điệu của hàm số.
• Cực trị của hàm số.
• Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số.
• Tiệm cận của đồ thị hàm số.
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

2. Các dạng toán thường gặp

a) Một số dạng toán về sự đơn điệu của hàm số thường gặp

• Dạng 1:  Xét tính đơn điệu của hàm số
• Dạng 2:  Định giá trị của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ.

b) Một số dạng toán về cực trị của hàm số thường gặp

• Dạng 1:  Tìm các điểm cực trị của hàm số: Dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2.
• Dạng 2:  Định giá trị tham số m để hàm số đạt cực trị tại \(x_0.\)
  • Phương pháp:
    • Tìm tập xác định.
    • Tính \(y’ \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right).\)
    • Lập luận: Hàm số đạt cực đại tại \({x_0} \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 0\), giải phương trình tìm được m.
    • Với từng giá trị m vừa tìm được ta dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 kiểm tra lại xem có thỏa điều kiện đề bài không.
    • Kết luận giá trị m thỏa điều kiện.
• Dạng 3: Định giá trị của tham số m để các hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) và \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\,\,(a,m \ne 0)\)cực đại, cực tiểu:
  • Phương pháp:
    • Tìm tập xác định D.
    • Tính \(y’\).
    • Tính \(\Delta _{y’}\).
    • Lập luận: Hàm số luôn luôn có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình \(y’=0\) có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó. Phương trình \(y’=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta _{y’}>0\) giải tìm m.
• Dạng 4: Định giá trị của tham số m để các hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) và \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\,\,(a,m \ne 0)\) không có cực đại, cực tiểu:
  • Phương pháp:
    • Tìm tập xác định D.
    • Tính \(y’\).
    • Tính \(\Delta _{y’}\).
    • Lập luận: Hàm số không có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình \(y’=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Phương trình \(y’=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta _{y’}\leq 0\) giải tìm m.
• Dạng 5:  Chứng minh với mọi giá trị của tham số m hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) luôn luôn có cực đại, cực tiểu.
  • Phương pháp:
    • Tìm tập xác đinh D.
    • Tính \(y’\).
    • Tính \(\Delta _{y’}\) (nếu y’ là tam thức bậc 2 theo x).
    • Chứng minh: \(\Delta _{y’}>0\) và y’ đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó suy ra hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu.

c) Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Tìm GTLN – GTNN của hàm sô trên một khoảng, nửa khoảng.
• Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên một đoạn.

d) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn (trùng phương)
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất (hàm nhất biến).

e) Bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số

• Tìm số giao điểm của hai đường \((C_1):y=f(x)\) và \((C_2):y=g(x).\)
• Biện luận theo m nghiệm của phương trình \(f(x)=m.\)