♦ Vấn đề 1:
Chứng minh một số tính chất liên quan đến các đỉnh, các cạnh,, các mặt của một khối đa diện
Sử dụng tính chất a) và b) trong định nghĩa hình đa diện.
2. Ví dụ
Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của đúng ba mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.
Giải
Gọi d là số các đỉnh của một khối đa diện (H). Vì mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của đúng ba mặt, nên mỗi đỉnh của nó có đúng ba cạnh đi qua. Như vậy qua d đỉnh có 3d cạnh. Nhưng do mỗi cạnh nối đúng hai đỉnh nên số các
cạnh của (H) bằng $c=\frac{3d}{2}$.
Suy ra d phải là số chẵn.
Ví dụ : Hình tứ diện, hình hộp.
♦ Vấn đề 2:
Chứng minh hai đa diện bằng nhau
1. Phương pháp giải
Chỉ ra một phép dời hình cụ thể đã được xác định biến đa diện này thành đa diện kia.
2. Ví dụ
Cho lăng trụ ABCDEF.A’B’C’D’E’F’ có đáy là những lục giác đều. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của đáy. Gọi (a) là mặt phẳng đi qua / và cắt tất cả cạnh bên của lăng trụ. Chứng minh rằng (a) chia lăng trụ thành hai đa diện bằng nhau.
Giải
Giả sử mp (α) cắt AA’ , BB’ , CC’ , DD’, EE’ , FF’ lần lượt tại J, K, L, M, N, p (h.1.5). Dễ thấy
I cũng là trung điểm của JM, KN và Phép đối xứng tâm I biến các điểm A, B, c, D, E, F, J, K,
L, M, N, P lần lượt thành các điểm D’, E’ , F’ , , A’, B’ , C’, M, N, P, J, K, L. Do đó hai đa diện
ABCDEF JKLMNP và D’E’F’A’B’C’.MNPJKL bằng nhau vì có phép dời hình là phép đối xứng
tâm I biến đa diện này thành đa diện kia.
♦ Vấn đề 3:
Phân chia hoặc lắp ghép các khối đa diện
1. Phương pháp giải
Chọn mặt phẳng thích hợp để phân chia khối đa diện. Trong nhiều trường hợp, để chứng minh rằng có thể lắp ghép các khối đa diện (H1), (H2) … , (Hn) thành khối đa diện (H) ta chứng minh rằng có thể chia được khối đa diện (H) thành các khối đa diện (H1), (H2) … , (Hn).
2. Ví dụ
Cho hình chóp tứ giác F.ABCD có đáy là hình vuông. Cạnh bên FC vuông góc với đáy và có độ dài bằng AB. Chứng minh rằng có thể dùng ba hình chóp bằng hình chóp trên để ghép lại thành một hình lập phương.
Giải
Từ hình chóp trên ta dựng hình lập phương HEFG.ABCD (h. 1.6). Ta thấy hai hình chóp
F.ABCD và F.ABEH đối xứng với nhau qua mặt phẳng (ABF), hai hình chóp F.ABCD và
F.AHGD đối xứng với nhau qua mặt phẳng (ADF). Do đó ba hình chóp F.ABCD, F.ABEH và
F.AHGD bằng nhau.
Như vậy có thể chia được hình lập phương HEFG.ABCD thành ba hình chóp bằng hình chóp
F.ABCD. Từ đó suy ra có thể ghép ba hình chóp bằng hình chóp F.ABCD để thành một hình
lập phương.
Nhận xét :
Để ý rằng phép đối xứng qua mặt phẳng (FAC) biến tứ diện FACB thành tứ diện FACD, do
đó có thể chia hình chóp F.ABCD thành hai tứ diện bằng nhau : FACB và FACD. Làm tương tự
đối với hai hình chóp F.ABEH và F.AHGD suy ra có thể chia một hình lập phương thành sáu
hình tứ diện bằng nhau.. (Bài tập 4, trang 12, SGK)
Ví dụ trắc nghiệm nhận biết
Câu 1: Tổng số mặt, số cạnh và số đỉnh của hình lập phương là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Hình lập phương có 6 mặt, 12 cạnh và 8 đỉnh. Do đó, tổng số là 26
Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. Hình lập phương là đa điện lồi
B. Tứ diện là đa diện lồi
C. Hình hộp là đa diện lồi
D. Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là một đa diện lồi
Hướng dẫn:
D sai vì hai tứ diện ghép với nhau có thể tạo thành đa diện lõm. Chẳng hạn cho 2 đỉnh chạm vào nhau, các đỉnh còn lại đối xứng qua đỉnh đó.
Câu 3: Số cạnh của một khối chóp hình tam giác là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Khối chóp tam giác có 3 cạnh đáy và 3 cạnh bên bên có tổng số 6 cạnh.
Câu 4: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng: “Số cạnh của một hình đa diện luôn …………..…… số mặt của hình đa diện ấy.”
Hướng dẫn:
Do mỗi mặt của đa diện chứa ít nhất 3 cạnh, trong khi mỗi cạnh lại là cạnh chung chỉ của 2 mặt, nên số cạnh luôn “lớn hơn” số mặt.
Câu 5: Cho khối chóp có là n – giác. Mệnh đề nào đúng sau đây:
A. Số cạnh của khối chóp bằng n + 1
B. Số mặt của khối chóp bằng 2n
C. Số đỉnh của khối chóp bằng n + 1
D. Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó
Hướng dẫn:
– Số cạnh khối chóp bằng 2n cạnh gồm n cạnh đáy và n cạnh bên.
– Số mặt khối chóp bằng n+1 gồm n mặt bên và một đáy
– Số đỉnh khối chóp bằng n+1 gồm n đỉnh đáy và 1 đỉnh chóp.
– Số mặt khối chóp bằng số đỉnh vì cùng bằng n+1
Vậy C và D đúng.
Để lại một bình luận