Tính xác suất có điều kiện trong bài toán bốc bi hai giai đoạn

1. Đề bài

Có hai hộp bi. Hộp I có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Hộp II có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp I bỏ vào hộp II, sau đó từ hộp II lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp II là bi đỏ, tính xác suất để viên bi lấy ra từ hộp I cũng là bi đỏ.

2. Dạng toán

Bài toán thuộc dạng: Tính xác suất có điều kiện kết hợp công thức xác suất toàn phần (thuộc chuyên đề Xác suất – Toán 12).

3. Phương pháp giải

• Bước 1: Gọi tên các biến cố đại diện cho các phép thử trong bài.
• Bước 2: Tính xác suất của các biến cố ở giai đoạn đầu (nếu có).
• Bước 3: Sử dụng công thức xác suất toàn phần để tính xác suất của biến cố điều kiện $B$: $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + …$
• Bước 4: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện (hoặc công thức Bayes) để tính kết quả: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)}$.

4. Lời giải chi tiết

Gọi $A_1$ là biến cố: “Viên bi lấy ra từ hộp I là bi đỏ”. Ta có $P(A_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Gọi $A_2$ là biến cố: “Viên bi lấy ra từ hộp I là bi xanh”. Ta có $P(A_2) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Nhận thấy $A_1$ và $A_2$ là hệ biến cố đầy đủ.

Gọi $B$ là biến cố: “Viên bi lấy ra từ hộp II là bi đỏ”. Ta sẽ tính xác suất của $B$ theo công thức xác suất toàn phần:

• Nếu $A_1$ xảy ra (chuyển 1 bi đỏ từ I sang II): Hộp II lúc này có 6 bi đỏ và 3 bi xanh (tổng cộng 9 viên). Xác suất lấy được bi đỏ từ hộp II là $P(B|A_1) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
• Nếu $A_2$ xảy ra (chuyển 1 bi xanh từ I sang II): Hộp II lúc này có 5 bi đỏ và 4 bi xanh (tổng cộng 9 viên). Xác suất lấy được bi đỏ từ hộp II là $P(B|A_2) = \frac{5}{9}$.

Xác suất để viên bi lấy ra từ hộp II là bi đỏ: $$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{4}{15} + \frac{1}{3} = \frac{3}{5}.$$

Bài toán yêu cầu tính xác suất để viên bi lấy từ hộp I là bi đỏ, biết rằng viên bi lấy từ hộp II là bi đỏ. Đây chính là xác suất có điều kiện $P(A_1|B)$.

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện: $$P(A_1|B) = \frac{P(A_1 \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A_1) \cdot P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}}{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{9}.$$

Kết luận: Xác suất cần tìm là $\frac{4}{9}$.

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Một bài xét nghiệm một loại bệnh có độ chính xác như sau: Nếu người mắc bệnh, xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất $95\%$. Nếu người không mắc bệnh, xét nghiệm cho kết quả dương tính (dương tính giả) với xác suất $2\%$. Giả sử tỉ lệ mắc bệnh trong cộng đồng là $1\%$. Chọn ngẫu nhiên một người, xét nghiệm cho kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh.

Câu 2: Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn một viên. Xác suất bắn trúng của xạ thủ 1 là $0,7$ và của xạ thủ 2 là $0,8$. Kết quả cho thấy mục tiêu bị trúng đúng một viên đạn. Tính xác suất viên đạn trúng đó là của xạ thủ 1.

Câu 3: Có 3 hộp bi. Hộp 1 có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp 2 có 4 bi đỏ, 1 bi trắng; hộp 3 có 2 bi đỏ, 3 bi trắng. Một người chọn ngẫu nhiên một hộp (xác suất các hộp như nhau) rồi từ đó rút ngẫu nhiên ra 1 viên bi thì được bi đỏ. Tính xác suất viên bi đỏ đó được rút ra từ hộp 1.

Câu 4: Trong một nhà máy, máy I sản xuất $60\%$ sản lượng, máy II sản xuất $40\%$ sản lượng. Tỉ lệ phế phẩm của máy I là $2\%$, của máy II là $3\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm này do máy II sản xuất.

Câu 5: Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng $7$. Tính xác suất để có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm.

Xem đáp án và lời giải

Câu 1: Gọi $A$ là biến cố người đó mắc bệnh, $B$ là biến cố xét nghiệm dương tính. Ta có $P(A)=0,01$; $P(\bar{A})=0,99$. $P(B|A)=0,95$; $P(B|\bar{A})=0,02$. $P(B) = 0,01 \cdot 0,95 + 0,99 \cdot 0,02 = 0,0293$. Xác suất: $P(A|B) = \frac{0,01 \cdot 0,95}{0,0293} = \frac{95}{293} \approx 32,42\%$.

Câu 2: Gọi $A_1, A_2$ là biến cố xạ thủ 1, 2 bắn trúng. $B$ là biến cố mục tiêu trúng đúng 1 viên. $P(B) = 0,7 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot 0,8 = 0,38$. Xác suất cần tìm: $P(A_1 \cap \bar{A_2} | B) = \frac{0,14}{0,38} = \frac{7}{19} \approx 36,84\%$.

Câu 3: Gọi $H_i$ là biến cố chọn hộp $i$ ($i=1,2,3$), $P(H_i)=\frac{1}{3}$. $A$ là biến cố rút được bi đỏ. $P(A) = \frac{1}{3}(\frac{3}{5} + \frac{4}{5} + \frac{2}{5}) = \frac{3}{5}$. Xác suất cần tìm: $P(H_1|A) = \frac{1/3 \cdot 3/5}{3/5} = \frac{1}{3}$.

Câu 4: Gọi $M_1, M_2$ là biến cố do máy I, II sản xuất. $A$ là biến cố lấy được phế phẩm. $P(A) = 0,6 \cdot 0,02 + 0,4 \cdot 0,03 = 0,024$. Xác suất do máy II sản xuất: $P(M_2|A) = \frac{0,012}{0,024} = 0,5$.

Câu 5: Không gian mẫu khi tổng bằng 7 có 6 kết quả: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$. Các kết quả có mặt 3 chấm là $(3,4)$ và $(4,3)$ (2 kết quả). Xác suất cần tìm bằng $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.