• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Toán lớp 10 / TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG HOẶC TÍCH ĐỘ DÀI

TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG HOẶC TÍCH ĐỘ DÀI

Đăng ngày: 08/01/2020 Biên tâp: admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Toán lớp 10

DẠNG TOÁN 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG HOẶC TÍCH ĐỘ DÀI.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau:
Cho $A$, $B$ là các điểm cố định. $M$ là điểm di động.
+ Nếu $|\overrightarrow {AM} | = k$ với $k$ là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $A$, bán kính $R = k.$
+ Nếu $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0$ thì tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $AB.$
+ Nếu $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow a = 0$ với $\overrightarrow a $ khác $\vec 0$ cho trước thì tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow a .$

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hai điểm $A$, $B$ cố định có độ dài bằng $a$, vectơ $\vec a$ khác $\vec 0$ và số thực $k$ cho trước. Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho:
a) $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \frac{{3{a^2}}}{4}.$
b) $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = M{A^2}.$

a) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ ta có:
$\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \frac{{3{a^2}}}{4}$ $ \Leftrightarrow (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} ) = \frac{{3{a^2}}}{4}.$
$ \Leftrightarrow M{I^2} – I{A^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}$ (do $\overrightarrow {IB} = – \overrightarrow {IA} $).
$ \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4}$ $ \Leftrightarrow MI = a.$
Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $R = a.$
b) Ta có $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = M{A^2}$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = {\overrightarrow {MA} ^2}.$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .(\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} ) = 0$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BA} = 0$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {BA} .$
Vậy tập hợp điểm $M$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng $AB$ tại $A.$

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC.$ Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {CB} )\overrightarrow {BC} = 0.$

TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG HOẶC TÍCH ĐỘ DÀI

Gọi $I$ là điểm xác định bởi $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \vec 0.$
Khi đó $(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {CB} )\overrightarrow {BC} = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} ) + 2(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )} \right].\overrightarrow {BC} $ $ = 3B{C^2}.$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {BC} = B{C^2}.$
Gọi $M’$, $I’$ lần lượt là hình chiếu của $M$, $I$ lên đường thẳng $BC.$
Theo công thức hình chiếu ta có $\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {M’I’} .\overrightarrow {BC} $, do đó $\overrightarrow {M’I’} .\overrightarrow {BC} = B{C^2}.$
Vì $B{C^2} > 0$ nên $\overrightarrow {M’I’} $, $\overrightarrow {BC} $ cùng hướng suy ra:
$\overrightarrow {M’I’} .\overrightarrow {BC} = B{C^2}$ $ \Leftrightarrow M’I’.BC = B{C^2}$ $ \Leftrightarrow M’I’ = BC.$
Do $I$ cố định nên $I’$ cố định suy ra $M’$ cố định.
Vậy tập hợp điểm $M$ là đường thẳng đi qua $M’$ và vuông góc với $BC.$

Ví dụ 3: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ và số thực $k$ cho trước. Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} = k.$

TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG HOẶC TÍCH ĐỘ DÀI

Gọi $I$ là tâm của hình vuông $ABCD.$
Ta có: $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} $ $ = (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )$ $ = M{I^2} + \overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} ) + \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC} $ $ = M{I^2} + \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC} .$
Tương tự $\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} = M{I^2} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID} .$
Nên $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} = k$ $ \Leftrightarrow 2M{I^2} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC} = k.$
$ \Leftrightarrow 2M{I^2} – I{B^2} – I{A^2} = k$ $ \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + I{A^2}$ $ \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + {a^2}.$
$ \Leftrightarrow MI = \sqrt {\frac{k}{2} + I{A^2}} $ $ = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} .$
Nếu $k < – {a^2}$: Tập hợp điểm $M$ là tập rỗng.
Nếu $k = – {a^2}$ thì $MI = 0$ $ \Leftrightarrow M \equiv I$ suy ra tập hợp điểm $M$ là điểm $I.$
Nếu $k > – {a^2}$ thì $MI = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} .$
Suy ra tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $R = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} .$

Tag với:Học bài 2 chương 2 Hình học 10

Bài liên quan:

  • BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
  • CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG HOẶC ĐỘ DÀI CỦA ĐOẠN THẲNG
  • XÁC ĐỊNH BIỂU THỨC TÍCH VÔ HƯỚNG – GÓC GIỮA HAI VECTƠ
  • Lý thuyết Bài Tích vô hướng của hai vectơ

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2021) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.