Lý thuyết Bài Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) được mô tả như hình sau:

Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).

Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói \(\vec a\) vuông góc với \(\vec b\).

2. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là  một số (đại lượng đại số) , được kí hiệu là \(\vec a.\vec b\) và được xác định bởi công thức

\(\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )\)

Bình phương vô hướng:

Với mỗi vectơ \(\vec a\) tùy ý, tích vô hướng \(\vec a.\vec a\) được kí hiệu là \(|\vec a|^2\) được gọi là bình phương vô hướng

Ta có: \(\vec a^2=|\vec a|.|\vec a|.cos0^o=|\vec a|^2\)

Như vậy: Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó

3. Tính chất của tích vô hướng

a) Định lí

Với ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) tùy ý và một số thực k, ta có:

\(\vec a.\vec b=\vec b.\vec a\) (tính chất giao hoán)

\(\vec a.\vec b=0\Leftrightarrow \vec a\perp \vec b\)

\((k\vec a).\vec b=\vec a.(k\vec b)=k.(\vec a.\vec b)\)

\(\vec a. (\vec b\pm \vec c)=\vec a.\vec b\pm \vec a.\vec c\) (tính chất phân phối tổng hiệu)

Chú ý: Ta có kết quả sau:
+ Nếu hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ khác $\vec 0$ thì $\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \vec a.\vec b = 0.$
+ $\vec a.\vec a = {\vec a^2} = |\vec a{|^2}$ gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow a .$
+ ${(\vec a \pm \vec b)^2} = {\vec a^2} \pm 2\vec a.\vec b + {\vec b^2}$, $(\vec a + \vec b)(\vec a – \vec b) = {\vec a^2} – {\vec b^2}.$

 

4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ \(\vec{a}(x;y);\vec{b}(x’;y’)\). Khi đó:

• \(\vec{a}.\vec{b}=xx’+yy’\)
• \(|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
• \(cos(\vec{a};\vec{b})=\frac{xx’+yy’}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x’^2+y’^2}},\vec{a}\neq \vec{0};\vec{b}\neq \vec{0}\)
• \(\vec{a}\perp \vec{b}\Leftrightarrow xx’+yy’=0\)