• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Toán lớp 10 / CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG HOẶC ĐỘ DÀI CỦA ĐOẠN THẲNG

CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG HOẶC ĐỘ DÀI CỦA ĐOẠN THẲNG

Đăng ngày: 08/01/2020 Biên tâp: admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Toán lớp 10

DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG HOẶC ĐỘ DÀI CỦA ĐOẠN THẲNG.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ đẳng thức $A{B^2} = {\overrightarrow {AB} ^2}.$
Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ.
Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng.

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1
: Cho $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và $M$ là điểm tùy ý. Chứng minh rằng: $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = I{M^2} – I{A^2}.$

Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = {\overrightarrow {IM} ^2} – {\overrightarrow {IA} ^2}.$
Để làm xuất hiện $\overrightarrow {IM} $, $\overrightarrow {IA} $ ở VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm $I$ vào, ta được:
$VT = (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} ).(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )$ $ = (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} ).(\overrightarrow {MI} – \overrightarrow {IA} )$ $ = {\overrightarrow {IM} ^2} – {\overrightarrow {IA} ^2} = VP.$

Ví dụ 2: Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ bất kì. Chứng minh rằng:
$\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0$ $(*).$
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao trong tam giác đồng quy”.

Ta có: $\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} .$
$ = \overrightarrow {DA} .(\overrightarrow {DC} – \overrightarrow {DB} )$ $ + \overrightarrow {DB} .(\overrightarrow {DA} – \overrightarrow {DC} )$ $ + \overrightarrow {DC} .(\overrightarrow {DB} – \overrightarrow {DA} ).$
$ = \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DC} – \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DB} $ $ + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DA} – \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DC} $ $ + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DB} – \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DA} = 0.$
Gọi $H$ là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh $A$, $B.$
Khi đó ta có: $\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC} = 0$, $\overrightarrow {HC} .\overrightarrow {AB} = 0$ $(1).$
Từ đẳng thức $(*)$ ta cho điểm $D$ trùng với điểm $H$ ta được:
$\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {AB} = 0$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {CA} = 0$ suy ra $BH$ vuông góc với $AC.$
Hay ba đường cao trong tam giác đồng quy.

Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn đường kính $AB.$ Có $AC$ và $BD$ là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại $E.$ Chứng minh rằng: $\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {BD} = A{B^2}.$

CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG HOẶC ĐỘ DÀI CỦA ĐOẠN THẲNG

Ta có $VT = \overrightarrow {AE} .(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} )$ $ + \overrightarrow {BE} .(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} ).$
$ = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {BC} $ $ + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {AD} .$
Vì $AB$ là đường kính nên $\widehat {ADB} = {90^0}$, $\widehat {ACB} = {90^0}.$
Suy ra $\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {BC} = 0$, $\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {AD} = 0.$
Do đó $VT = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {BA} $ $ = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EB} )$ $ = {\overrightarrow {AB} ^2} = VP.$

Ví dụ 4: Cho tam giác $ABC$ có $BC = a$, $CA = b$, $AB = c$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng $aI{A^2} + bI{B^2} + cI{C^2} = abc.$

Ta có: $a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \vec 0$ $ \Rightarrow {(a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} )^2} = 0.$
$ \Rightarrow {a^2}I{A^2} + {b^2}I{B^2} + {c^2}I{C^2}$ $ + 2ab\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + 2bc\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + 2ca\overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} = 0.$
$ \Rightarrow {a^2}I{A^2} + {b^2}I{B^2} + {c^2}I{C^2}$ $ + ab\left( {I{A^2} + I{B^2} – A{B^2}} \right)$ $ + bc\left( {I{B^2} + I{C^2} – B{C^2}} \right)$ $ + ca\left( {I{A^2} + I{C^2} – C{A^2}} \right) = 0.$
$ \Rightarrow \left( {{a^2} + ab + ca} \right)I{A^2}$ $ + \left( {{b^2} + ba + bc} \right)I{B^2}$ $ + \left( {{c^2} + ca + cb} \right)I{C^2}$ $ – \left( {ab{c^2} + a{b^2}c + {a^2}bc} \right) = 0.$
$ \Rightarrow (a + b + c)\left( {{a^2}I{A^2} + {b^2}I{B^2} + {c^2}I{C^2}} \right)$ $ = (a + b + c)abc.$
$ \Rightarrow {a^2}I{A^2} + {b^2}I{B^2} + {c^2}I{C^2} = abc.$

Tag với:Học bài 2 chương 2 Hình học 10

Bài liên quan:

  • BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
  • TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG HOẶC TÍCH ĐỘ DÀI
  • XÁC ĐỊNH BIỂU THỨC TÍCH VÔ HƯỚNG – GÓC GIỮA HAI VECTƠ
  • Lý thuyết Bài Tích vô hướng của hai vectơ

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2021) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.