(Sở Thanh Hóa 2022) Cho hàm số \(f(x) \ne 0,\forall x > 0\) và có đạo hàm \(f\prime (x)\) liên tục trên khoảng \((0; + \infty )\) thoả mãn \(f\prime (x) = (2x + 1){f^2}(x)\), \(\forall x > 0\) và \(f(1) = – \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(f(1) + f(2) + f(3) + \ldots + f(2022)\) bằng

A. \(\frac{{2022}}{{2023}}\).

B. \(\frac{{2021}}{{2022}}\).

C. \( – \frac{{2021}}{{2022}}\).

D. \( – \frac{{2022}}{{2023}}\).

Lời giải:

Có \(\frac{{f\prime (x)}}{{{f^2}(x)}} = 2x + 1 \Rightarrow \int {\frac{{f\prime (x)}}{{{f^2}(x)}}} dx = \int {(2x + 1)} dx \Leftrightarrow – \frac{1}{{f(x)}} = {x^2} + x + C\).

Có \(f(1) = – \frac{1}{2} \Rightarrow – \frac{1}{{ – \frac{1}{2}}} = 1 + 1 + C \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) = – \frac{1}{{{x^2} + x}}\).

Vì vậy \(f(x) = – \left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}} \right) \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^{20122} f (k) = – \sum\limits_{k = 1}^{2022} {\left( {\frac{1}{k} – \frac{1}{{k + 1}}} \right)} = – \left( {\frac{1}{1} – \frac{1}{{2023}}} \right) = – \frac{{2022}}{{2023}}\).