Lý thuyết Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0˚ đến 180˚ – Kết nối

Lý thuyết Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0˚ đến 180˚
=============

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Giá trị lượng giác của một góc

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành (Hình cho sau) được gọi là nửa đường tròn đơn vị.
Cho trước một góc \(\alpha\), \(0^\circ  \le \alpha  \le 180^\circ \). Khi đó, có duy nhất điểm M(x₀; y₀) trên nửa đường tròn đơn vị nói trên đề \(\widehat {xOM} = \alpha \).

Ta có các công thức sau:

\(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }}(\alpha  \ne {90^0});\cot \alpha  = \frac{{cos\alpha }}{{\sin \alpha }}(\alpha  \ne {0^0}\) và \(\alpha  \ne {180^0});\) \(\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }}\left( {\alpha  \notin \left\{ {{0^0};{{90}^0};{{180}^0}} \right\}} \right)\)

Sau đây là bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt mà em nên nhớ.

Chú ý
– Khi tìm x biết sin x, máy tính chỉ đưa ra giá trị \(x \le {90^0}\).
– Muốn tìm x khi biết cos x, tan x, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím sin tương  ứng bởi phim cos , tan.
Ví dụ:  Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°.

Giải 
Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = 135^\circ \). Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.
Vì \(\widehat {xOM} = 135^\circ \) nên \(\widehat {MON} = 45^\circ \), \(\widehat {MOP} = 45^\circ \). Vậy các tam giác MON, MOP là vuông cân với cạnh huyền OM= 1.
Từ đó, ta có \(ON = OP = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) Mặt khác, điểm M nằm bên trái trục tung nên có toạ độ là \(\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\).
Theo định nghĩa, ta có:
\(\begin{array}{l}
\sin {135^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\;\;\;\;\;\;\;\;\;cos{135^0} =  – \frac{{\sqrt 2 }}{2};\\
\tan {135^0} =  – 1;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cot {135^0} =  – 1
\end{array}\)

1.2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Ở lớp 9, em đã biết mối quan hệ giữa tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau. Trong mục này, em hãy tìm mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.
Đối với một góc \(\alpha\) tuỳ ý \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\), gọi M, M’ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc bù nhau \(\alpha\) và \({180^0} – \alpha \) \(\left( {\widehat {xOM} = \alpha ,\widehat {xOM’} = {{180}^0} – \alpha } \right)\)

Đối với hai góc bù nhau, \(\alpha \) và \({{{180}^0} – \alpha }\), ta có: \(\begin{array}{l} *\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha ;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;*cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) =  – cos\alpha \\ *\tan \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) =  – \tan \left( {x \ne {{90}^0}} \right);\;\;\;\;\;\;\;\;\;*\cot \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) =  – \cot \alpha \left( {{0^0} < \alpha  < {{180}^0}} \right) \end{array}\)

Ví dụ:  Tính các giá trị lượng giác của các góc 120°,135°,150°.
Giải
Do các góc 120°,135°,150° tương ứng bù với các góc 60°,45°,30°, ta cũng có bảng các giá trị lượng giác sau:

Bài tập minh họa

Câu 1:
a) Nêu nhận xét về vị trí điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:
\(\begin{array}{l}\alpha  = {90^o};\\\alpha  < {90^o};\\\alpha  > {90^o}.\end{array}\)
b) Khi \({0^o} < \alpha  < {90^o}\), nêu mối quan hệ giữa \(\cos \alpha ,\;\sin \alpha \) với hoành độ và tung độ của điểm M.
Hướng dẫn giải
a) Khi \(\alpha  = {90^o}\), điểm M trùng với điểm C. (Vì \(\widehat {xOC} = \widehat {AOC} = {90^o}\))
Khi \(\alpha  < {90^o}\), điểm M thuộc vào cung AC (bên phải trục tung)
Khi \(\alpha  > {90^o}\), điểm M thuộc vào cung BC (bên trái trục tung)
b) Khi \({0^o} < \alpha  < {90^o}\) , ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \alpha  = \frac{{\left| {{x_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{x_0}} \right| = {x_0};\\\sin \alpha  = \frac{{\left| {{y_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{y_o}} \right| = {y_o}\end{array}\)
Vì \(OM = R = 1\); \({x_0} \in \)tia \(Ox\)nên \({x_0} > 0\); \({y_0} \in \)tia \(Oy\)nên \({y_0} > 0\)
Vậy \(\cos \alpha \) là hoành độ \({x_0}\)của điểm M, \(\sin \alpha \) là tung độ \({y_0}\) của điểm M.
Câu 2:
Trong hình cho sau, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau \(\alpha \) và \({90^o} – \alpha \) (\(\widehat {xOM} = \alpha ,\;\;\widehat {xON} = {90^o} – \alpha \)). Chứng mình rằng \(\Delta MOP = \Delta NOQ\). Từ đó nêu mối quan hệ giữa \(\cos \alpha \) và \(\sin \left( {{{90}^o} – \alpha } \right)\).

Hướng dẫn giải
Trường hợp 1:   \(\alpha  = {90^o}\)
Khi đó \({90^o} – \alpha  = {0^o}\)
Tức là M và N lần lượt trùng nhau với B và A.

Và  \(\cos \alpha  = 0 = \sin \left( {{{90}^o} – \alpha } \right)\)
Trường hợp 2:  \({0^o} < \alpha  < {90^o} \Rightarrow {0^o} < {90^o} – \alpha  < {90^0}\)
M và N cùng nằm bên trái phải trục tung.

Ta có: \(\alpha  = \widehat {AOM};\;\;{90^o} – \alpha  = \widehat {AON}\)
Dễ thấy: \(\widehat {AON} = {90^o} – \alpha  = {90^o} – \widehat {NOB}\;\;\; \Rightarrow \alpha  = \widehat {NOB}\)
Xét hai tam giác vuông \(NOQ\) và tam giác \(MOP\)  ta có:
\(OM = ON\)
\(\widehat {POM} = \widehat {QON}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta NOQ = \Delta MOP\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OP = OQ\\QN = MP\end{array} \right.\end{array}\)
Mà \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\) nên \(N\left( {{y_o};{x_0}} \right)\). Nói cách khác:
\(\cos \left( {{{90}^o} – \alpha } \right) = \sin \alpha ;\;\;\sin \left( {{{90}^o} – \alpha } \right) = \cos \alpha .\)

=============
– Học Toán lớp 10 – Kết nối