Lý thuyết Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác – Kết nối

Lý thuyết Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác
=============

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định lí Côsin

Định lí côsin. Trong tam giác ABC: \(\begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A,\\ {b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca\cos B,\\ {c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab\cos C. \end{array}\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {120^0}\) và AB = 5, AC = 8. Tính độ dài cạnh BC.

Giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

\(\begin{array}{l}
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2AB.AC.cos{120^0}\\
 = {5^2} + {8^2} – 2.5.8.\left( { – \frac{1}{2} = 129} \right)
\end{array}\)

Vậy \(BC = \sqrt {129} \)

1.2. Định lí Sin

Định lí sin. Trong tam giác ABC: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {135^0},\widehat C = {15^0}\) và b = 12. Tính a, c, R và số đo góc B.

Giải

Ta có: \(\widehat B = {180^0} – \left( {\widehat A + \widehat C} \right) = {180^0} – \left( {{{135}^0} + {{15}^0}} \right) = {30^0}\)

Áp dụng định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin {{135}^0}}} = \frac{{12}}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{c}{{\sin {{15}^0}}} = 2R\) 

Suy ra:

\(\begin{array}{l}
a = \frac{{12}}{{\sin {{30}^0}}}.\sin {135^0} = 12\sqrt {12} ;\\
c = \frac{{12}}{{\sin {{30}^0}}}.\sin {15^0} = 24\sin {15^0}\left( { \approx 6,21} \right);\\
R = \frac{{12}}{{2\sin {{30}^0}}} = 12
\end{array}\)

1.3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một sô yêu tô của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Ví dụ: Giải tam giác ABC, biết \(c = 14,\widehat A = {60^0},\widehat B = {40^0}\).

Giải

Ta có: \(\widehat C = {180^0} – \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {80^0}\)

Áp dụng định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{b}{{\sin {{40}^0}}} = \frac{{14}}{{\sin {{80}^0}}}\) 

Suy ra: \(a = \frac{{14\sin {{60}^0}}}{{\sin {{80}^0}}} \approx 12,31;b = \frac{{14\sin {{40}^0}}}{{\sin {{80}^0}}} \approx 9,14\)

Chú ý: Áp dụng các định li côsin, sin và sử dụng máy tính cằm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

• Biết hai cạnh và góc xen giữa;
• Biết ba cạnh;
• Biết một cạnh và hai góc kề.

1.4. Công thức tính diện tích tam giác

Công thức tính diện tích tam giác ABC:   \(\begin{array}{l} *S = pr = \frac{{\left( {a + b + c} \right)r}}{2}\\ *S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}casinB = \frac{1}{2}ab\sin C\\ *S = \frac{{abc}}{{4R}}\\ *\sqrt {p\left( {p – a} \right)\left( {p – b} \right)\left( {p – c} \right)}  \end{array}\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = 13, b = 14, c = 15.

a) Tính sinA.

b) Tính diện tích S bằng hai cách khác nhau.

Giải

a) Áp dụng định lí côsin, ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{14}^2} + 15 – {{13}^2}}}{{420}} = 0,6\) 

Do đó \(\sin A = \sqrt {1 – co{s^2}A}  = 0,8\) 

b) Ta có \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = 84\).

Áp dụng công thức Heron, ta cũng có thể tính S theo cách thứ hai như sau:

Tam giác ABC có nửa chu vi là: \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21\) 

Khi đó \({S_{ABC}} = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)}  = \sqrt {21.(21 – 13).(21 – 14).(21 – 15)}  = \sqrt {21.8.7.6}  = 84\)

Bài tập minh họa

Câu 1:  Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và \(\widehat A = {45^o}\). Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} – \,2b\,c.\cos A\quad (1)\\{b^2} = {a^2} + {c^2} – \,2a\,c.\cos B\quad (2)\end{array}\)

(trong đó: AB = c, BC = a và AC = b)

Ta được:  \(B{C^2} = {a^2} = {8^2} + {5^2} – 2.8.5.\cos {45^o} = 89 – 40\sqrt 2 \)\( \Rightarrow BC \approx 5,7\)

Từ (2) suy ra \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}\,}}{{2a\,c}}\);

Mà: a = BC =5,7; b =AC = 8; c =AB =5.

\( \Rightarrow \cos B \approx \frac{{ – 217}}{{1900}} \Rightarrow \widehat B \approx {97^o} \Rightarrow \widehat C \approx {38^o}\)

Vậy tam giác ABC có BC = 5,7, \(\widehat B = {97^o},\widehat C = {38^o}\)

Câu 2:

Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và \(\widehat B = {80^o}\). Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

\(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin C = \frac{{c.\sin B}}{b} = \frac{{5.\sin {{80}^o}}}{8} \approx 0,6155\\ \Leftrightarrow \widehat C \approx {38^o}\end{array}\)

Lại có: \(\widehat A = {180^o} – \widehat B – \widehat C = {180^o} – {80^o} – {38^o} = {62^o}\)

Theo định lí sin, ta suy ra \(a = \sin A.\dfrac{b}{{\sin B}} = \sin {62^o}\dfrac{8}{{\sin {{80}^o}}} \approx 7,17\)

Và \(2R = \dfrac{b}{{\sin B}} \Rightarrow R = \dfrac{b}{{2\sin B}} = \dfrac{8}{{2\sin {{80}^o}}} \approx 4,062.\)

Vậy tam giác ABC có \(\widehat A = {62^o}\); \(\widehat C \approx {38^o}\); \(a \approx 7,17\) và \(R \approx 4,062.\)

Câu 3: Tính diện tích tam giác ABC có \(b = 2,\;\widehat B = {30^o},\;\widehat C = {45^o}\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

\(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow c = \sin C.\frac{b}{{\sin B}} = \sin {45^o}.\frac{2}{{\sin {{30}^o}}} = 2\sqrt 2 \)

Lại có: \(\;\widehat A = {180^o} – \widehat B – \widehat C = {180^o} – {30^o} – {45^o} = {105^o}\)

Do đó diện tích tích S của tam giác ABC là:

\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.2.2\sqrt 2 .\sin {105^o} = 1 + \sqrt 3 .\)

Vậy diện tích tam giác ABC là \(1 + \sqrt 3 \).

=============
– Học Toán lớp 10 – Kết nối