Lý thuyết Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ – Chân trời
============
1.1. Elip
Cho hai điểm cố định và phân biệt \({F_1},{F_2}\). Đặt \({F_1}{F_2} = 2c > 0\). Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\) được gợi là đường elip (hay elip). Hai điểm \({F_1},{F_2}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gợi là tiêu cự của elip đó.
|
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điềm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\). (2) Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (2), với a > b > 0, đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { – \sqrt {{a^2} – {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} – {b^2}} ;0} \right)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} – {b^2}} \) và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a. Phương trinh (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng. |
|---|
Ví dụ: Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.
Giải
Ta có: a2 = 25, b2 = 16. Do đó \(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = 3\). Vậy elip có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { – 3;0} \right);{F_2}\left( {3;0} \right)\) và tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2c = 6\). Ta có \(a = \sqrt {25} = 5\), nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 2a= 10.
1.2. Hypebol
Cho hai điểm phân biệt có định \({F_1}\) và \({F_2}\). Đặt \({F_1}{F_2} = 2c\). Cho số thực dương a nhỏ hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} – M{F_2}} \right| = 2c\) được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm \({{F_1},{F_2}}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gọi là tiêu cự của hypebol đó.
|
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a,b > 0\). (4) Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (4), với a, b >0, đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { – \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mối điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a. Phương trình (4) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng. |
|---|
Ví dụ: Cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?
Giải
Ta có \({a^2} = 9,{b^2} = 16\), nên \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\). Vậy hypebol có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { – 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\) và có tiêu cự 2c = 10. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng \(2{\rm{a}} = 2\sqrt 9 = 6\).
1.3. Parabol
|
Cho một điểm F có định và một đường thẳng \(\Delta \) cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và \(\Delta \) được gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm F được gọi là tiêu điểm, \(\Delta \) được gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến \(\Delta \) được gọi là tham số tiêu của parabol đó. Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên \(\Delta \). Khi đó, trong hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol (P) có phương trình \({y^2} = 2p{\rm{x}}\) (với p > 0) (5) Phương trình (5) được gọi là phương trình chính tắc của parabol (P). Ngược lại, mỗi phương trình dạng (5), với p > 0, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta 😡 = – \frac{p}{2}\). |
|---|
Ví dụ: Cho parabol \((P):{y^2} = x\).
a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \) của (P).
b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.
Giải
a) Ta có 2p = 1 nên \(p = \frac{1}{2}\).
Parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{4};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta 😡 = – \frac{1}{4}\)
b) Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuuọc (P) có khoảng các tới F bằng 3 khi và chỉ khi \({y_0}^2 = {x_0}\) và MF = 3.
Do \(MF = d\left( {M,\Delta } \right)\) nên \(d\left( {M,\Delta } \right) = 3\)
Mặt khác \(\Delta 😡 + \frac{1}{4} = 0\) và \({x_0} = {y_0}^2 \ge 0\) nên \(3 = d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{x_0} + \frac{1}{4}} \right| = {x_0} + \frac{1}{4}.\)
Vậy \({x_0} = \frac{{11}}{4}\) và \({y_0} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\) hoặc \({y_0} = – \frac{{\sqrt {11} }}{2}\).
Vậy có hai điểm M thoả mãn bài toán với toạ độ là \(\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{11}}{4}; – \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\).
Câu 1: Viết phương trình chính tắc của elip trong hình sau:
Hướng dẫn giải
Dựa vào hình vẽ ta thấy \(a = 3,c = 2 \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} – {c^2}} = \sqrt {{3^2} – {2^2}} = \sqrt 5 \)
Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)
Câu 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục nhỏ bằng 6.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(2c = 10 \Rightarrow c = 5,2b = 6 \Rightarrow b = 3\)
Suy ra \(a = \sqrt {{c^2} – {b^2}} = \sqrt {{5^2} – {3^2}} = 4\)
Vậy phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Câu 3: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn \(\Delta 😡 + 1 = 0\)
Hướng dẫn giải
Từ phương trình đường chuẩn \(\Delta 😡 + 1 = 0\) ta có tiêu điểm \(F\left( {1;0} \right)\)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2x\)
===========
Chuyên mục: Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Để lại một bình luận