Lý thuyết Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ – Chân trời

Lý thuyết Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ – Chân trời ============

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình đường tròn

Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường tròn (C), tâm ((a; b), bán kính R khi và chỉ khi\({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\).   (1)Ta gọi (1) là phương trình của đường tròn (C).

Nhận xét:  Phương trình (1) tương đương với \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{a}}x – 2by + \left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} – {R^2}} \right) = 0\). 

Phương trình \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{a}}x – 2by + c = 0\) là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} – c > 0\). Khi đó, (C) có tâm I(a; b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} \)

Ví dụ:  Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\). Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm J(2; – 1) và có bán kinh gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Giải

Ta viết phương trình của (C) ở dạng \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – \left( { – 3} \right)} \right)^2} = {4^2}\)

Vậy (C) có tâm I = (2;- 3) và bán kinh R= 4.

Đường tròn (C’) có tâm J(2; – 1) và có bán kinh R’= 2R= 8, nên có phương trình \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 64\). 

1.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a, b) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nằm trên đường tròn là:\(\left( {a – {x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {b – {y_0}} \right)\left( {y – {y_0}} \right) = 0\)

Ví dụ:  Cho đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 5\). Điểm M(0; 1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).

Giải

Do \({\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {1 – 3} \right)^2} = 5\), nên điểm M thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(-1; 3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI}  = \left( { – 1;2} \right)\), nên có phương trình 

\( – 1\left( {x – 0} \right) + 2\left( {y – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 2y + 2 = 0\).

Bài tập minh họa

Câu 1:  Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a)  (C) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\)

b) (C) có tâm \(I\left( {2; – 2} \right)\), bán kính \(R = 8\)

c) (C) đi qua 3 điểm \(A(1;4),B(0;1),C(4;3)\)

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn (C) tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\) có phương trình là: \({x^2} + {y^2} = 16\)

b) Đường tròn (C) tâm \(I\left( {2; – 2} \right)\), bán kính \(R = 8\) có phương trình: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 64\)

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right),N\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

Đường trung trực \(\Delta \)của đoạn  thẳng AB là đường thẳng đi qua  M và nhận vt \(\overrightarrow {BA}  = (1;3)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  \(x + 3y – 8 = 0\)

Đường trung trực d của đoạn thẳng AC  là đường thẳng đi qua  N và nhận vt \(\overrightarrow {AC}  = (3; – 1)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  \(3x – y – 4 = 0\)

\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(2;2)\) cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(2;2)\) và có bán kính \(R = IA = \sqrt 5 \). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 5\)

Câu 2:  Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} – 2x – 4y – 20 = 0\) tại điểm \(A(4;6)\)

Hướng dẫn giải 

Ta có \({4^2} + {6^2} – 2.4 – 4.6 – 20 = 0\), nên điểm A thuộc (C)

Đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} – 2x – 4y – 20 = 0\) có tâm \(I(1;2)\)

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại \(A(4;6)\) là:

\(\begin{array}{l}\left( {4 – 1} \right)\left( {x – 4} \right) + \left( {6 – 2} \right)\left( {y – 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 4y + 16 = 0\end{array}\)

=========== Chuyên mục: ChÆ°Æ¡ng 9: PhÆ°Æ¡ng pháp tọa độ trong mặt phẳng