Lý thuyết Bài 2: Hàm số bậc hai – Chân trời
============
1.1. Hàm số bậc hai
+ Định nghĩa: Hàm số bậc hai biến x là hàm số cho bởi công thức dạng \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0.\) + Tập xác định: \(\mathbb{R}\) |
---|
Ví dụ: Hàm số nào trong các hàm số sau đâylà hàm số bậc hai?
\(\begin{array}{l}
a)y = 2{x^2} + x\\
b)y = {x^3} + x + 1\\
c)y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\\
d)y = – 3{x^2} – 1\\
e)y = \sqrt {5 – 2x}
\end{array}\)
1.2. Đồ thị hàm số bậc hai
+) Đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\) là một parabol (P):
– Đỉnh \(S\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
– Trục đối xứng: đường thẳng \(x = – \frac{b}{{2a}}\)
– Bề lõm: quay lên trên nếu \(a > 0\), quay xuống dưới nếu \(a < 0\)
– Cắt Oy tại điểm \((0;c)\)
Chú ý: Nếu PT \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 2 nghiệm này.
+) Vẽ đồ thị
1) Xác định đỉnh \(S\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
2) Vẽ trục đối xứng d: \(x = – \frac{b}{{2a}}\)
3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (A(0;c)), trục hoành (nếu có).
Xác định \(B\left( {\frac{{ – b}}{a};c} \right)\) (là điểm đối xứng với A qua d)
4) Vẽ parabol đỉnh S, trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.
1.3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai
+) Bảng biến thiên
+) Kết luận:
|
\(a > 0\) |
\(a < 0\) |
Trên khoảng \(\left( { – \infty ;\frac{{ – b}}{{2a}}} \right)\) |
Hàm số nghịch biến |
Hàm số đồng biến |
Trên khoảng \(\left( {\frac{{ – b}}{{2a}}; + \infty } \right)\) |
Hàm số đồng biến |
Hàm số nghịch biến |
GTLN hoặc GTNN |
Đạt GTNN bằng \(\frac{{ – \Delta }}{{4a}}\) tại \(x = \frac{{ – b}}{{2a}}\) |
Đạt GTLN bằng \(\frac{{ – \Delta }}{{4a}}\) tại \(x = \frac{{ – b}}{{2a}}\) |
Tập giá trị |
\(T = \left[ {\left. {\frac{{ – \Delta }}{{4a}}; + \infty } \right)} \right.\) |
\(T = \left( {\left. { – \infty ;\frac{{ – \Delta }}{{4a}}} \right]} \right.\) |
Ví dụ: Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = – {x^2} + 4x – 3\). Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.
Giải
Đỉnh S có tọa độ: \({x_s} = \frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – 4}}{{2.\left( { – 1} \right)}} = 2;{y_s} = – {2^2} + 4.2 – 3 = 1\)
Hay S(2; 1)
Vì hàm số bậc hai có a = -1 < 0 nên ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x = 2.
1.4. Ứng dụng của hàm số bậc hai
+) Tầm bay cao và tầm bay xa
Chọn điểm \((0;{y_0})\) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời mặt vợt là:
\(y = \frac{{ – g.{x^2}}}{{2.{v_0}^2.{{\cos }^2}\alpha }} + \tan \alpha .x + {y_0}\)
Trong đó:
\(g\) là giá tốc trọng trường ( \( \approx 9,8\;m/{s^2}\))
\(\alpha \) là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất)
\({v_0}\) là vận tốc ban đầu của cầu
\({y_0}\) là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất
Quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.
– Vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao ;
– Khoảng cách từ nơi đứng phát cầu đến điểm cham đất, gọi là tầm bay xa .
+) Bài toán ứng dụng
Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biến phía sân đối phương thì lần phát cầu được xem là hợp lệ.
Câu 1: Khai triển biểu thức của các hàm số sau và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa của x giảm dần (nếu có thể). Hàm số nào có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai?
a) \(y = 2x(x – 3)\)
b) \(y = x({x^2} + 2) – 5\)
c) \(y = – 5(x + 1)(x – 4)\)
Hướng dẫn giải
a) \(y = 2x(x – 3) = 2{x^2} – 6\)
Hàm số có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai
b) \(y = x({x^2} + 2) – 5 = {x^3} + 2x – 5\)
Hàm số có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc ba
c) \(y = – 5(x + 1)(x – 4) = – 5{x^2} + 15x + 20\)
Hàm số có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai
Câu 2: Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^2} – 4x + 3\)
Hướng dẫn giải
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x) = {x^2} – 4x + 3\) là một parabol (P1):
+ Có đỉnh S với hoành độ: \({x_S} = \frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – ( – 4)}}{{2.1}} = 2;{y_S} = {2^2} – 4.2 + 3 = – 1.\)
+ Có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 2\) (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
+ Bề lõm quay lên trên vì \(a = 1 > 0\)
+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).
Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.
Câu 3: Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(y = 2{x^2} – 6x + 11.\) Hàm số này có thể đạt giá trị bằng -1 không? Tại sao?
Hướng dẫn giải
Đỉnh S có tọa độ: \({x_S} = \frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – ( – 6)}}{{2.2}} = \frac{3}{2};{y_S} = 2.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} – 6.\frac{3}{2} + 11 = \frac{{13}}{2}.\)
Hay \(S\left( {\frac{3}{2};\frac{{13}}{2}} \right).\)
Vì hàm số bậc hai có \(a = 2 > 0\) nên ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số đồng biến trên khoảng \((\frac{3}{2}; + \infty )\) và nghịch biến trên khoảng \(( – \infty ;\frac{3}{2})\)
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{13}}{2}\) khi \(x = \frac{3}{2}\)
Do đó hàm số không thể đạt giá trị bằng -1 vì \( – 1 < \frac{{13}}{2}.\)
===========
Chuyên mục: Chương 3: Hàm số bậc hai và đồ thị
Trả lời