Lý thuyết Bài tập cuối chương 3 – Chân trời
============
1.1. Hàm số và đồ thị
a) Hàm số. Tập xác định và tập giá trị của hàm số
+) Định nghĩa: Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên, \(x \in D\) Nếu với mỗi \(x \in D\), ta xác định được y duy nhất (\(y \in \mathbb{R}\)) thì ta có một hàm số. +) Tên gọi: x là biến số, y là hàm số của x, D là tập xác định \(T = \left\{ {y|x \in D} \right\}\) là tập giá trị của hàm số. +) Ta thường kí hiệu \(f(x)\) là giá trị y tương ứng với x, nên hàm số thường viết là \(y = f(x)\) |
---|
Chú ý
+ Hàm số cho bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì
TXĐ của hàm số \(y = f(x)\) là tập hợp tất cả các \(x \in \mathbb{R}\) sao cho \(f(x)\) có nghĩa.
+ Một hàm số có thể được cho bởi hay nhiều công thức.
b) Đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị (C) của hàm số là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) với \({x \in D}\) và y = f(x).
Chú ý: Điểm \(M({x_M};{y_M})\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x)\) khi và chỉ khi \({{x_M} \in D}\) và \({{y_M} = f({x_M})}\).
c) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Với hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\), ta nói: – Hàm số đồng biến trên khoảng \((a;b)\) nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\) – Hàm số nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\) |
---|
Nhận xét:
Khi hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải. Ngược lại, khi hàm số nghịoh biển (giảm) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.
1.2. Hàm số bậc hai
a) Hàm số bậc hai
+ Định nghĩa: Hàm số bậc hai biến x là hàm số cho bởi công thức dạng \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0.\) + Tập xác định: \(\mathbb{R}\) |
---|
b) Đồ thị hàm số bậc hai
+) Đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\) là một parabol (P):
– Đỉnh \(S\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
– Trục đối xứng: đường thẳng \(x = – \frac{b}{{2a}}\)
– Bề lõm: quay lên trên nếu \(a > 0\), quay xuống dưới nếu \(a < 0\)
– Cắt Oy tại điểm \((0;c)\)
Chú ý: Nếu PT \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 2 nghiệm này.
+) Vẽ đồ thị
1) Xác định đỉnh \(S\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
2) Vẽ trục đối xứng d: \(x = – \frac{b}{{2a}}\)
3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (A(0;c)), trục hoành (nếu có).
Xác định \(B\left( {\frac{{ – b}}{a};c} \right)\) (là điểm đối xứng với A qua d)
4) Vẽ parabol đỉnh S, trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.
c) Sự biến thiên của hàm số bậc hai
+) Bảng biến thiên
+) Kết luận:
|
\(a > 0\) |
\(a < 0\) |
Trên khoảng \(\left( { – \infty ;\frac{{ – b}}{{2a}}} \right)\) |
Hàm số nghịch biến |
Hàm số đồng biến |
Trên khoảng \(\left( {\frac{{ – b}}{{2a}}; + \infty } \right)\) |
Hàm số đồng biến |
Hàm số nghịch biến |
GTLN hoặc GTNN |
Đạt GTNN bằng \(\frac{{ – \Delta }}{{4a}}\) tại \(x = \frac{{ – b}}{{2a}}\) |
Đạt GTLN bằng \(\frac{{ – \Delta }}{{4a}}\) tại \(x = \frac{{ – b}}{{2a}}\) |
Tập giá trị |
\(T = \left[ {\left. {\frac{{ – \Delta }}{{4a}}; + \infty } \right)} \right.\) |
\(T = \left( {\left. { – \infty ;\frac{{ – \Delta }}{{4a}}} \right]} \right.\) |
d) Ứng dụng của hàm số bậc hai
+) Tầm bay cao và tầm bay xa
Chọn điểm \((0;{y_0})\) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời mặt vợt là:
\(y = \frac{{ – g.{x^2}}}{{2.{v_0}^2.{{\cos }^2}\alpha }} + \tan \alpha .x + {y_0}\)
Trong đó:
\(g\) là giá tốc trọng trường ( \( \approx 9,8\;m/{s^2}\))
\(\alpha \) là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất)
\({v_0}\) là vận tốc ban đầu của cầu
\({y_0}\) là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất
Quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.
– Vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;
– Khoảng cách từ nơi đứng phát cầu đến điểm cham đất, gọi là tầm bay xa.
+) Bài toán ứng dụng
Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biến phía sân đối phương thì lần phát cầu được xem là hợp lệ.
Câu 1: Vẽ đồ thị hàm số \(f(x) = 3x + 8\)
Hướng dẫn giải
\((C) = \{ M(x;3x + 8)|x \in \mathbb{R}\} \) là đường thẳng \(y = 3x + 8\)
Với \(x = 0\) thì \(f(0) = 3.0 + 8 = 8\), do đó A (0;8) thuộc đồ thị hàm số.
Với \(x = – 2\) thì \(f(0) = 3.( – 2) + 8 = 2\) do đó B (-2;2) thuộc đồ thị hàm số.
Với \(x = – 3\) thì \(f(0) = 3.( – 3) + 8 = – 1\) do đó C (-3;-1) thuộc đồ thị hàm số.
Câu 2:
a) Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số có đồ thị sau:
b) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = f(x) = 5{x^2}\) trên khoảng (2; 5).
Hướng dẫn giải
a) Từ đồ thị ta thấy hàm số xác định trên [-3;7]
+) Trên khoảng (-3; 1): đồ thì có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (-3; 1).
+) Trên khoảng (1; 3): đồ thì có dạng đi xuống từ trái sang phải nên hàm số này nghịch biến trên khoảng (1; 3).
+) Trên khoảng (3; 7): đồ thì có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (3; 7).
b) Xét hàm số \(y = 5{x^2}\) trên khoảng (2; 5).
Lấy \({x_1},{x_2} \in (2;5)\) là hai số tùy ý sao cho \({x_1} < {x_2}\).
Do \({x_1},{x_2} \in (2;5)\) và \({x_1} < {x_2}\) nên \(0 < {x_1} < {x_2}\), suy ra \({x_1}^2 < {x_2}^2\) hay \(5{x_1}^2 < 5{x_2}^2\)
Từ đây suy ra \(f({x_1}) < f({x_2})\)
Vậy hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (2; 5).
Câu 3: Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(y = 2{x^2} – 6x + 11.\) Hàm số này có thể đạt giá trị bằng -1 không? Tại sao?
Hướng dẫn giải
Đỉnh S có tọa độ: \({x_S} = \frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – ( – 6)}}{{2.2}} = \frac{3}{2};{y_S} = 2.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} – 6.\frac{3}{2} + 11 = \frac{{13}}{2}.\)
Hay \(S\left( {\frac{3}{2};\frac{{13}}{2}} \right).\)
Vì hàm số bậc hai có \(a = 2 > 0\) nên ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số đồng biến trên khoảng \((\frac{3}{2}; + \infty )\) và nghịch biến trên khoảng \(( – \infty ;\frac{3}{2})\)
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{13}}{2}\) khi \(x = \frac{3}{2}\)
Do đó hàm số không thể đạt giá trị bằng -1 vì \( – 1 < \frac{{13}}{2}.\)
===========
Chuyên mục: Chương 3: Hàm số bậc hai và đồ thị
Trả lời