Giải SBT Giải tích 12 nâng cao. Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số
————-
Câu 1.1 trang 10 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Cho A(-1;1); B(2;4) là hai điểm của parabol $y=x^2$. Xác định điểm C thuộc parabol sao cho tiếp tuyến tại C với parabol song song với AB.
Giải
Vì tiếp tuyến song song AB nên hệ số góc k= 1; vì $\overrightarrow{AB}=(3;2)$
Ta có: $y’=2x=1 \Leftarrow x=\frac{1}{2} \Rightarrow y=\frac{1}{4}$
Vậy $C(\frac{1}{2};\frac{1}{4})$
Câu 1.2 . Xét chiều biến thiên các hàm số sau:
a/ $y=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-2}$
TXĐ: D=R\{0;2}
$y’=\frac{4x-4}{x^2\left(x-2\right)^2} =0$ => x= 1.
y’ < 0 trên khoảng (-∞;0);(0;1) nên y nghịch biến trên khoảng (-∞;0);(0;1)
y’ > 0 trên khoảng (1;2);(2;+∞) nên y đồng biến trên khoảng (1;2);(2;+∞)
——-
b/ $y=\frac{3x}{x^2+1}$
$y’=\frac{3\left(-x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}$
$\Rightarrow x=\pm 1$
nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-1) và (-1;+∞); hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).
——-
c/ $y=\frac{\left(x+1\right)}{3\sqrt{x}}$ (x>0)
$y’=\frac{x-1}{6x\sqrt{x}}\Rightarrow x= 1$
nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1); hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞).
d/ $y=\sqrt{x^2+2x+3}$
$y’=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}\Rightarrow x= -1$
nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-1); hàm số đồng biến trên khoảng (-1;+∞).
Câu 1.3 : Xét chiều biến thiên các hàm số sau:
a/ $f(x)=\frac{1}{2}x^4+x^3-x+5$
$f'(x) = 2x^3+3x^2-1=0$ => $x=-1,\:x=\frac{1}{2}$
nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;1/2); hàm số đồng biến trên khoảng (1/2;+∞).
b/ $f(x)=\frac{3}{4}x^4-2x^3+\frac{3}{2}x^2-6x+11$
$f'(x)=3x^3-6x^2+3x-6$ => x=2
nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;2); hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞).
c/ $f(x)=x^3-\frac{4}{5}x^5+8$
$f'(x)=-4x^4+3x^2$ => $x=0,x=\frac{\sqrt{3}}{2},x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-∞;-\frac{\sqrt{3}}{2})$; $(\frac{\sqrt{3}}{2};+∞)$; hàm số đồng biến trên khoảng $(-\frac{\sqrt{3}}{2});\frac{\sqrt{3}}{2})$.
d/ $f(x)=9x^7-7x^6+\frac{7}{5}x^5+12$
$f'(x)=63x^6-42x^5+7x^4$ => $x=0,x=\frac{1}{3}$
Hàm số đồng biến trên R
Câu 1.4 trang 10 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Hãy chứng minh rằng
Hãy chứng minh rằng
a) Hàm số \(y = \sqrt {2x – {x^2}} \) nghịch biến trên đoạn [1;2]
b) Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} – 9} \) đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}3; + \infty )\)
c) Hàm số \(y = x + {4 \over x}\) nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2;0) và (0;2]
Giải
a) Hàm số liên tục trên đoạn [1;2] và có đạo hàm
\(y’ = {{1 – x} \over {\sqrt {2x – {x^2}} }} < 0\) với mọi \(x \in (1,2)\)
Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn [1;2]
b) Hàm số liên tục trên nửa khoảng \({\rm{[}}3; + \infty )\) và có đạo hàm
\(y’ = {x \over {\sqrt {{x^2} – 9} }} > 0\) với mọi \(x \in (3, + \infty )\)
Do đó hàm dố đồng biến tên nửa khoảng \({\rm{[}}3; + \infty )\)
c) TXĐ: \(x\ne0\)
\(y’ = 1 – {4 \over {{x^2}}}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
BBT
Từ BBT ta có hàm số \(y = x + {4 \over x}\) nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2;0) và (0;2]
Câu 1.5 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Chứng minh rằng
a) Hàm số \(y = {{3 – x} \over {2x + 1}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó
b) Hàm số \(y = {{2{x^2} + 3x} \over {2x + 1}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
c) Hàm số \(y = – x + \sqrt {{x^2} + 8} \) nghịch biến trên \(\mathbb R\)
Giải
a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { – {1 \over 2}} \right\}\)
\(y’ = {{ – 7} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D\)
Do đó hàm số \(y = {{3 – x} \over {2x + 1}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó
b) TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { – {1 \over 2}} \right\}\)
\(y’ = {{4{x^2} – 4x + 3} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = {{{{\left( {2x – 1} \right)}^2} + 2} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in D\)
Do đó hàm số \(y = {{2{x^2} + 3x} \over {2x + 1}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
c) Vì \(y’ = – 1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 8} }} < 0\) với mọi x nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\)
Trả lời