Giải SBT Giải tích 12 nâng cao. Bài 5: Đường tiệm cận cuả hàm số
Bài 1.36 trang 17
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = {{x + 1} \over {2x + 1}}\)
b) \(y = 4 + {1 \over {x – 2}}\)
c) \(y = {{\sqrt {{x^2} + x} } \over {x – 1}}\)
d) \(y = {{\sqrt {x + 3} } \over {x + 1}}\)
Giải
a) Đường thẳng \(x = -{1 \over 2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {\left( { – {1 \over 2}} \right)^ – }\) và \(x \to {\left( { – {1 \over 2}} \right)^ + }\). Đường thẳng \(y = {1 \over 2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to – \infty \))
b) Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {2^ – }\) và \(x \to {2^ + }\)). Đường thẳng y = 4 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to – \infty \))
c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {1 – {1 \over x}}} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – x\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – \sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {1 – {1 \over x}}} = – 1\)
Nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to + \infty \)) và đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to – \infty \)) (h.1.8)
d) Đường thẳng x = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to {( – 1)^ – }\) và \(x \to {( – 1)^ + }\)).
Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to + \infty \)) (h1.1.9).
————————————————
Bài 1.37 trang 17
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = 2x – 1 + {1 \over x}\) b) \(y = {{{x^2} + 2x} \over {x – 3}}\)
c) \(y = x – 3 + {1 \over {2{{(x – 1)}^2}}}\) d) \(y = {{2{x^2} + {x^2}} \over {{x^2} + 1}}\)
Giải
a) Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {0^ + }\) và \(x \to {0^ – }\).
Đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to – \infty \))
b) Đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {3^ – }\) và \(x \to {3^ + }\)).
Đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to – \infty \))
c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = + \infty \) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {1^ – }\) và \(x \to {1^ + }\)). Vì
\(y – (x – 3) = {1 \over {2{{(x – 1)}^2}}} \to 0\) khi \(x \to + \infty \) và \(x \to – \infty \)
nên đường thẳng y = x – 3 là tiệm cân xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to – \infty \)) (h.1.10).
d) Đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to – \infty \))
Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng
\(y = 2x – 1 + {{1 – 2x} \over {{x^2} + 1}} \)
Vì hàm số xác định trên R nên đồ thị của nó không có tiệm cận đứng.
——————————————————–
Bài 1.38 trang 18
Tìm các đường tiệm của đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = {{2{x^2} + 1} \over {{x^2} – 2x}}\) b) \(y = {x \over {1 – {x^2}}}\)
c) \(y = {{{x^2}} \over {{x^2} – 1}}\) d) \(y = {{\sqrt x } \over {4 – {x^2}}}\)
Giải
a) Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {0^ + }\) và \(x \to {0^ – }\)).
Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {2^ + }\) và \(x \to {2^ – }\))
Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to – \infty \))
b) Tiệm cận đứng: x = 1 (khi \(x \to {1^ + }\) và \(x \to {1^ – }\))
Tiệm cận đứng: x = -1 (khi \(x \to {( – 1)^ + }\) và \(x \to {( – 1)^ – }\))
Tiệm cận ngang: y = 0 (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to – \infty \))
c) Tiệm cận đứng: x = 1 (khi \(x \to {1^ + }\) và \(x \to {1^ – }\))
Tiệm cận đứng: x = -1 (khi \(x \to {( – 1)^ + }\) và \(x \to {( – 1)^ – }\))
Tiệm cận xiên: y = x (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to – \infty \))
d) Tiệm cận đứng: x = 2 (khi \(x \to {2^ + }\) và \(x \to {2^ – }\))
Tiệm cận ngang: y = 0 (khi \(x \to + \infty \) ) (h.1.11)
—————————————————————
Bài 1.39 trang 18
Tìm các đường tiệm của đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = \sqrt {{x^2} – x + 1} \) b) \(y = x + \sqrt {{x^2} + 2x} \)
c) \(y = \sqrt {{x^2} + 3} \) d) \(y = x + {2 \over {\sqrt x }}\)
Giải
a) Ta có :
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} – x + 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt {1 – {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x} \)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 – {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} = 1\)
\(\eqalign{& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y – x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} – x + 1} – x} \right) \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ – x + 1} \over {\sqrt {{x^2} – x + 1} + x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ – 1 + {1 \over x}} \over {\sqrt {1 – {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} + 1}} = – {1 \over 2} \cr} \)
Đường thẳng \(y = x – {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \))
\(\eqalign{& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\sqrt {{x^2} – x + 1} } \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – x\sqrt {1 – {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {\sqrt {1 – {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \right) = – 1 \cr} \)
\(\eqalign{& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (y + x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {\sqrt {{x^2} – x + 1} + x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – x + 1} \over {\sqrt {{x^2} – x + 1} – x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – x + 1} \over { – x\sqrt {1 – {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} – x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – 1 + {1 \over x}} \over { – \sqrt {1 – {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} – 1}} = {1 \over 2} \cr} \)
Đường thẳng \(y =- x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to – \infty \)) (h.1.12)
b) Tiệm cận xiên: y = 2x + 1 (khi \(x \to + \infty \))
Tiệm cận ngang: y = -1 (khi \(x \to – \infty \))
c) Tiệm cận xiên: y = x (khi \(x \to + \infty \))
Tiệm cận ngang: y = -x (khi \(x \to – \infty \))
d) Tiệm cận đứng: x = 0 (khi \(x \to {0^ + }\))
Tiệm cận xiên: y = x (khi \(x \to + \infty \)) (h.1.14)
————————————————————
Bài 1.40 trang 18
a) Xác định giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong
\(y = {{x – 5} \over {2x + 3}}\) (H)
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong (H) đối với hệ tọa độ IXY.
Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong (H)
Giải
a) \(I\left( { – {3 \over 2};{1 \over 2}} \right)\)
b) Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) \(\left\{ \matrix{x = X – {3 \over 2} \hfill \cr y = Y + {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của đường cong (H) đối với hệ tọa độ IXY
\(Y = {{13} \over {4X}}\)
Hàm số là hàm lẻ nhận I làm tâm đối xứng
————————————————————
Bài 1.41 trang 18
a) Xác định giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong
\(y = {{2{x^2} – 3x – 3} \over {x – 2}}\) (C)
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY.
Giải
a) \(I\left( {2;5} \right)\)
b) Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \)
\(\left\{ \matrix{x = X + 2 \hfill \cr y = Y + 5 \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY là:
\(Y = 2X – {1 \over X}\)
——————————————
Bài 1.42 trang 18
Cùng các câu hỏi như trong bài tập 1.41 đối với đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = {{x + 5} \over {2x + 1}}\) b) \(y = 3x + 4 + {2 \over {x + 1}}\)
Giải
a)
\(\eqalign{& I\left( { – {1 \over 2};{1 \over 2}} \right);\left\{ \matrix{x = X – {1 \over 2} \hfill \cr y = Y + {1 \over 2} \hfill \cr} \right.;Y = {9 \over {4X}} \cr & \cr} \)
b)
\(I( – 1;1);\left\{ \matrix{x = X – 1 \hfill \cr y = Y + 1 \hfill \cr} \right.;Y = 3X + {2 \over X}\)
Trả lời