Câu 1.6 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\) đồng biến trên \(\mathbb R\)
Giải
Ta có \(f'(x) = 1 – \sin 2x\ge0\; \forall x\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 1\)
Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn \(\left[ {{\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + ( k+ 1)\pi } \right]\) và có đạo hàm \(f'(x) > 0\) với mọi \(x\in\left( {{\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + ( k+ 1)\pi } \right),\;k\in\mathbb Z\)
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn \(\left[ {{\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + ( k+ 1)\pi } \right]\;k\in\mathbb Z\)
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\)
=============
Câu 1.7 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Với các giá trị nào của m, hàm số
\(y = x + 2 + {m \over {x – 1}}\)
Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó ?
Giải
Ta có \(y’ = 1 – {m \over {{{(x – 1)}^2}}}\) với mọi \(x \ne 1\)
– Nếu \(m \le 0\) thì y’ > 0 với mọi \(x \ne 1\) . Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
– Nếu m > 0 thì
\(y’ = {{{x^2} – 2x + 1 – m} \over {{{(x – 1)}^2}}}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 – m = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt m \)
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {1 – \sqrt m ;1} \right)\) và \(\left( {1;1 + \sqrt m } \right)\).
Điều kiện đòi hỏi không được thỏa mãn.
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác đinh của nó khi và chỉ khi \(m \le 0\)
Câu 1.8 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Với các giá trị nào của a, hàm số
\(f(x) =- {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + (2a + 1)x – 3a + 2\)
nghịch biến trên \(\mathbb R\) ?
Giải
Ta có: \(f'(x) = – {x^2} + 4x + 2a + 1\)
\(\Delta ‘ = 2a – 5;\Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow a = – {5 \over 2}\)
+) Nếu \(a =- {5 \over 2}\) thì \(f'(x) = – {(x – 2)^2} \le 0\) với mọi \(x\in \mathbb R\), \(f'(x)=0\) chỉ tại điểm x = 2. Do đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\)
+) Nếu \(\Delta ‘ < 0\) thì phương trình \(f'(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) (giả sử \({x_1} < {x_2}\)). Dễ thấy hàm số f đồng biến trên khoảng \(\left( {{x_1},{x_2}} \right)\). Điều kiện đòi hỏi không được thỏa mãn.
+) Nếu \(\Delta ‘ < 0\), tức là \(a < – {5 \over 2}\) thì \(f(x) < 0\) với mọi \(x\in \mathbb R\). Do đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\) khi và chỉ khi
\(a \le – {5 \over 2}\)
——————-
Câu 1.9 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Cho hàm số
\(f(x) = 2-sin^2x-sin^2\left(a+x\right)-2cosacosxcos\left(a+x\right)\)
a) Tìm đạo hàm của hàm số f
b) Từ a) suy ra rằng hàm số f lấy giá trị không đổi trên R và tính giá trị không đổi đó.
Giải
a ) f'(x) = 0 với mọi x ∈ R.
b) \(f(x) = {\sin ^2}a\) với mọi x ∈ R.
Từ a) suy ra rằng f lấy giá trị ko đổi trên R. Do đó
\(f(x) = f(0) = 2 – si{n^2}a – 2{\cos ^2}a = {\sin ^2}a\) với mọi x ∈ R.
————–
Câu 1.10 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Cho hàm số f:\(\left( {{{ – \pi } \over 4};{\pi \over 4}} \right) \to R\) xác đinh bởi
\(f(x) = cosx{\rm{ + }}\sin x\tan {x \over 2}\)
a) Tìm đạo hàm của hàm số f
b) Từ a) suy ra rằng hàm số f là một hàm hằng trên khoảng \(f:\left( {{{ – \pi } \over 4};{\pi \over 4}} \right)\) và tìm hằng đó.
Giải
a) Ta có
\(f'(x) = – {\mathop{\rm sinx}\nolimits} + \cos x\tan {x \over 2} + {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over {2{{\cos }^2}{x \over 2}}}\)
\( = – {\mathop{\rm sinx}\nolimits} + \cos x\tan {x \over 2} + \tan {x \over 2}\)
\( = – {\mathop{\rm sinx}\nolimits} + \tan {x \over 2}(1 + \cos x)\)
\( = – {\mathop{\rm sinx}\nolimits} + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} = 0\) với mọi x ∈ \(\left( { – {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right).\)
b) Từ a) suy ra rằng f là một hàm hằng trên khoảng \(\left( { – {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right).\)
Do đó \(f(x) = f(0) = 1\) với mọi x ∈ \(\left( { – {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right).\)
Trả lời