Giải SBT Giải tích 12 Bài 2 Hàm số lũy thừa

Hướng dẫn giải bài 2.6 trang 102 ; bài 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11 trang 103 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.

Bài 2.6 trang 102 Sách bài tập Giải tích 12

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = {({x^2} – 4x + 3)^{ – 2}}\)

b) \(y = {({x^3} – 8)^{{\pi  \over 3}}}\)

c) \(y = {({x^3} – 3{x^2} + 2x)^{{1 \over 4}}}\)

d) \(y = {({x^2} + x – 6)^{ – {1 \over 3}}}\)

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số xác định khi \({x^2} – 4x + 3 \ne 0\) hay \(x \ne 1;x \ne 3\).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là  R\{1; 3}.

b) Hàm số xác định khi x3 – 8 > 0 hay x > 2. Vậy tập xác định là \((2; + \infty )\) .

c) Hàm số xác định khi x3 – 3×2 + 2x > 0 hay x(x – 1)(x – 2) > 0

Suy ra  0 < x < 1 hoặc x > 2. Vậy tập xác định là \((0;1) \cup (2; + \infty )\)

d) Hàm số xác định khi x2 + x – 6 > 0 hay x < -3 và x > 2.

Vậy tập xác định là \(( – \infty ; – 3) \cup (2; + \infty )\).

---

Bài 2.7 trang 103

Tính đạo hàm của các hàm số cho ở bài 2.6

a) \(y = {({x^2} – 4x + 3)^{ – 2}}\)

b) \(y = {({x^3} – 8)^{{\pi  \over 3}}}\)

c) \(y = {({x^3} – 3{x^2} + 2x)^{{1 \over 4}}}\)

d) \(y = {({x^2} + x – 6)^{ – {1 \over 3}}}\)

Bài giải:

a) \(y’ =  – 2{({x^2} – 4x + 3)^{ – 3}}(2x – 4)\)

b) \(y’ = {\pi  \over 3}{({x^3} – 8)^{{\pi  \over 3} – 1}}.3{x^2} = \pi {x^2}{({x^3} – 8)^{{\pi  \over 3} – 1}}\)

c) \(y’ = {1 \over 4}{({x^3} – 3{x^2} + 2x)^{ – {3 \over 4}}}(3{x^2} – 6x + 2)\)

d) \(y’ =  – {1 \over 3}{({x^2} + x – 6)^{ – {4 \over 3}}}(2x + 1)\).

---

Bài 2.8

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {x^{ – 3}}\)

b) \(y = {x^{ – {1 \over 2}}}\)

c) \(y = {x^{{\pi  \over 4}}}\)

Bài làm

a) Tập xác định:  R\{0}

Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

\(y’ =  – 3{x^{ – 4}} =  – {3 \over {{x^4}}}\)

Ta có: \(y’ < 0,\forall x \in R\backslash {\rm{\{ }}0\}\) nên hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y =  – \infty \)

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành, tiệm cận đứng là trục tung.

Bảng biến thiên:

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ.

b) Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)

\(y’ =  – {1 \over 2}{x^{ – {3 \over 2}}}\)

Vì  nên hàm số nghịch biến.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 0\)

Đồ thị có tiệm cận đứng là trục tung, tiệm cận ngang là trục hoành.

Bảng biến thiên:

c) Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)

\(y’ > 0,\forall x \in D\)

Vì \(y’ > 0,\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \)

Đồ thị không có tiệm cận.

Bảng biến thiên

Đồ thị

---

Bài 2.9 trang 103 SBT Giải tích 12

Vẽ đồ thị của hai hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ:

\(y = {x^6}\)    và  \(y = {x^{ – 6}}\)

Bài giải: * Xét hàm số  y = x6

Tập xác định D = R. Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

\(\eqalign{
& y’ = 6{x^5} \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \)

Đồ thị không có tiệm cận

Bảng biến thiên

* Xét hàm số \(y = {x^{ – 6}}\)

Tập xác định: D = R\{0}. Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

\(\eqalign{
& y’ = – 6{x^{ – 7}} \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0 \cr} \)

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành, tiệm cận đứng là trục tung.

Bảng biến thiên:

Đồ thị của các hàm số \(y = {x^6},y = {x^{ – 6}}\) như sau. Các đồ thị này đều có trục đối xứng là trục tung.

---

Bài 2.10

Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = {x^{{1 \over 2}}}\)  trên cùng một hệ trục tọa độ. Hãy so sánh giá trị của các hàm số đó khi \(x = 0,5;1;{3 \over 2};2;3;4.\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(f(x) = {x^2},x \in R\)

\(g(x) = {x^{{1 \over 2}}} = \sqrt x ,x > 0\)

Đồ thị:

Từ đồ thị của hai hình đó ta có:

\(\begin{array}{l}
f(0,5) < g(0,5)\\
f(1) = g(1) = 1;f(\frac{3}{2}) > g(\frac{3}{2})f(2) > g(2);\\
f(3) > g(3),f(4) > g(4)
\end{array}\)

---

Bài 2.11 trang 103 Toán 12

Hãy viết các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) \({(0,3)^\pi },{(0,3)^{0,5}},{(0,3)^{\frac{2}{3}}},{(0,3)^{3,1415}}\)

b) \(\sqrt {{2^\pi }} ,{(1,9)^\pi },{(\frac{1}{{\sqrt 2 }})^\pi },{\pi ^\pi }\)

c) \({5^{ – 2}},{5^{ – 0,7}},{5^{\frac{1}{3}}},{(\frac{1}{5})^{2,1}}\)

d) \({(0,5)^{ – \frac{2}{3}}},{(1,3)^{ – \frac{2}{3}}},{\pi ^{ – \frac{2}{3}}},{(\sqrt 2 )^{ – \frac{2}{3}}}\)

Lời giải

a) \({(0,3)^\pi };{(0,3)^{3,1415}};{(0,3)^{\frac{2}{3}}};{(0,3)^{0,5}}\)

(vì cơ số a = 0,3 < 1 và \(\pi  > 3,1415 > \frac{2}{3} > 0,5\) )

b)  \({(\frac{1}{{\sqrt 2 }})^\pi };{(\sqrt 2 )^\pi };{(1,9)^\pi };{\pi ^\pi }\)  (vì  \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} < \sqrt 2  < 1,9 < \pi \) )

c) \({(\frac{1}{5})^{2,1}};{5^{ – 2}};{5^{ – 0,7}};{5^{\frac{1}{3}}}\)

d) \({\pi ^{ – \frac{2}{3}}};{(\sqrt 2 )^{ – \frac{2}{3}}};{(1,3)^{ – \frac{2}{3}}};{(0,5)^{ – \frac{2}{3}}}\).