Giải SBT Bài 5 Dấu của tam thức bậc hai – Chương 4 – Đại số 10

Bài 40 trang 122 SBT Toán Đại số 10

Xét dấu của tam thức bậc hai sau

a) \(2{x^2} + 5x + 2;\)

b) \(4{x^2} – 3x – 1;\)

c) \( – 3{x^2} + 5x + 1;\)

d) \(3{x^2} + x + 5.\)

Gợi ý làm bài

d) Tam thức \(3{x^2} + x + 5\) có biệt thức \(\Delta  =  – 59 < 0\) và hệ số a = 3 > 0

Vậy \(3{x^2} + x + 5 > 0,\forall x\)

Bài 41

Giải các bất phương trình sau:

a) \({x^2} – 2x + 3 > 0;\)

b) \({x^2} + 9 > 6x.\)

Giải

a) \({x^2} – 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + 2 > 0\) (đúng với mọi x);

b) \({x^2} + 9 > 6x \Leftrightarrow {(x – 3)^2} > 0\) (đúng với mọi )

Bài 42

Giải các bất phương trình sau:

a) \(6{x^2} – x – 2 \ge 0;\)

b) \({1 \over 3}{x^2} + 3x + 6 < 0.\)

Hướng dẫn

a) \(6{x^2} – x – 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \le  – {1 \over 2}\) hoặc \(x \ge {2 \over 3}\)

b) \({1 \over 3}{x^2} + 3x + 6 < 0 \Leftrightarrow {x^2} + 9x + 18 < 0 \Leftrightarrow  – 6 < x <  – 3\)

Bài 43 trang 122 SBT Đại số 10

Giải các bất phương trình sau:

a) \({{{x^2} + 1} \over {{x^2} + 3x – 10}} < 0;\)

b) \({{10 – x} \over {5 + {x^2}}} > {1 \over 2}.\)

Gợi ý

a) \({{{x^2} + 1} \over {{x^2} + 3x – 10}} < 0 \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 10 < 0 \Leftrightarrow  – 5 < x < 2.\)

b) \(\eqalign{
& {{10 – x} \over {5 + {x^2}}} > {1 \over 2} \Leftrightarrow 20 – 20 > 5 + {x^2} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 15 < 0 \Leftrightarrow – 5 < x < 3 \cr} \)

Bài 44

Giải các bất phương trình sau:

a) \({{x + 1} \over {x – 1}} + 2 > {{x – 1} \over x};\)

b) \({1 \over {x + 1}} + {2 \over {x + 3}} < {3 \over {x + 2}}.\)

Bài giải:

a) \(\eqalign{
& {{x + 1} \over {x – 1}} + 2 > {{x – 1} \over x} \Leftrightarrow {{3x – 1} \over {x – 1}} > {{x – 1} \over x} \cr
& \Leftrightarrow {{3{x^2} – x – {{(x – 1)}^2}} \over {x(x – 1)}} > 0 \Leftrightarrow {{2{x^2} + x – 1} \over {x(x – 1)}} > 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x <  – 1\) hoặc \(0 < x < {1 \over 2}\) hoặc \(x > 1\)

b) \(\eqalign{
& {1 \over {x + 1}} + {2 \over {x + 3}} + {3 \over {x + 2}} < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{x + 3 + 2x + 2} \over {(x + 1)(x + 3)}} < {3 \over {x + 2}} \cr} \)

\( \Leftrightarrow {{(3x + 5)(x + 2) – 3(x + 1) + (x + 3)} \over {(x + 1)(x + 2)(x + 3)}} < 0.\)

\( \Leftrightarrow {{1 – x} \over {(x + 1)(x + 2)(x + 3)}} < 0\)

\( \Leftrightarrow x <  – 3\) hoặc \( – 2 < x <  – 1\) hoặc \(x > 1\)

Đáp số: x < -3 hoặc -2 < x < -1 hoặc x > 1

Bài 45

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\left\{ \matrix{
{x^2} \ge 0,25 \hfill \cr
{x^2} – x \le 0 \hfill \cr} \right.;\)

b) \(\left\{ \matrix{
(x – 1)(2x + 3) > 0 \hfill \cr
(x – 4)(x + {1 \over 4}) \le 0 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải

a) \(\left\{ \matrix{
{x^2} \ge 0,25 \hfill \cr
{x^2} – x \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 0,25 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} – x \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 0,5 \le x \le 1.\)

b) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
(x – 1)(2x + 3) > 0 \hfill \cr
(x – 4)(x + {1 \over 4}) \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \in ( – \infty ; – {3 \over 2}) \cup (1; + \infty ) \hfill \cr
x \in {\rm{[ – }}{1 \over 4}{\rm{;4]}} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow x \in (1;4]. \cr} \)

Bài 46 trang 122 SBT Toán 10

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\left\{ \matrix{
{x^2} \ge 0,25 \hfill \cr
{x^2} – x \le 0 \hfill \cr} \right.;\)

b) \(\left\{ \matrix{
(x – 1)(2x + 3) > 0 \hfill \cr
(x – 4)(x + {1 \over 4}) \le 0 \hfill \cr} \right.\)

Gợi ý làm bài

a) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x^2} \ge 4x \hfill \cr
{(2x – 1)^2} < 9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 4x \ge 0 \hfill \cr
– 3 < 2x – 1 < 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \in ( – \infty ;0] \cup {\rm{[}}4; + \infty ) \hfill \cr
– 1 < x < 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow – 1 < x \le 0 \cr} \)

b) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x – 3 < (x + 1)(x – 2) \hfill \cr
{x^2} – x \le 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 3x + 1 > 0 \hfill \cr
{x^2} – x – 6 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \in ( – \infty ;{{3 – \sqrt 5 } \over 2}) \cup ({{3 + \sqrt 5 } \over 2};3] \hfill \cr
– 2 \le x \le 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow x \in {\rm{[ – 2;}}{{3 – \sqrt 5 } \over 2}) \cup ({{3 + \sqrt 5 } \over 2};3{\rm{]}}\)

Bài 47 trang 122 SBT Đại số 10

Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau:

a) \(2{m^2} – m – 5 > 0;\)

b) \( – {m^2} + m + 9 > 0.\)

Gợi ý làm bài

a) \(2{m^2} – m – 5 > 0 \Leftrightarrow m < {{1 – \sqrt {41} } \over 4};m > {{1 + \sqrt {41} } \over 4}\)

b) \(- {m^2} + m + 9 > 0 \Leftrightarrow {{1 – \sqrt {37} } \over 2} < m < {{1 + \sqrt {37} } \over 2}\)

Bài 48

Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau:

a) \({(2m – 1)^2} – 4(m + 1)(m – 2) \ge 0;\)

b) \({m^2} – (2m – 1)(m + 1) < 0.\)

Bài làm

\({(2m – 1)^2} – 4(m + 1)(m – 2) \ge 0 \Leftrightarrow 9 \ge 0\). Bất phương trình có tập nghiệm là R.

b) \({m^2} – (2m – 1)(m + 1) < 0 \Leftrightarrow  – {m^2} – m + 1 < 0\)

\( \Leftrightarrow m \in ( – \infty ;{{ – 1 – \sqrt 5 } \over 2}) \cup ({{ – 1 + \sqrt 5 } \over 2}; + \infty )\)

Bài 49 trang 123 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau:

a) \(\left\{ \matrix{
{(2m – 1)^2} – 4({m^2} – m) \ge 0 \hfill \cr
{1 \over {{m^2} – m}} > 0 \hfill \cr
{{2m – 1} \over {{m^2} – m}} > 0 \hfill \cr} \right.;\)

b) \(\left\{ \matrix{
{(m – 2)^2} – (m + 3)(m – 1) \ge 0 \hfill \cr
{{m – 2} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr
{{m – 1} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr} \right.\)

Bài giải

a) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{(2m – 1)^2} – 4({m^2} – m) \ge 0 \hfill \cr
{1 \over {{m^2} – m}} > 0 \hfill \cr
{{2m – 1} \over {{m^2} – m}} > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 \ge 0 \hfill \cr
{m^2} – m > 0 \Leftrightarrow m > 1 \hfill \cr
2m – 1 > 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)

b) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{(m – 2)^2} – (m + 3)(m – 1) \ge 0 \hfill \cr
{{m – 2} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr
{{m – 1} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 6m + 7 \ge 0 \hfill \cr
(m – 2)(m + 3) < 0 \hfill \cr
(m – 1)(m + 3) > 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m \le {7 \over 6} \hfill \cr
– 3 < m < 2 \hfill \cr
\left[ \matrix{
m > 1 \hfill \cr
m < – 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le {7 \over 6}\)

Bài 50

Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau:

a) \(\left\{ \matrix{
2m – 1 > 0 \hfill \cr
{m^2} – (m – 2)(2m – 1) < 0 \hfill \cr} \right.;\)

b) \(\left\{ \matrix{
{m^2} – m – 2 > 0 \hfill \cr
{(2m – 1)^2} – 4({m^2} – m – 2) \le 0 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án

a) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2m – 1 > 0 \hfill \cr
{m^2} – (m – 2)(2m – 1) < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > {1 \over 2} \hfill \cr
– {m^2} + 5m – 2 < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > 0,5 \hfill \cr
\left[ \matrix{
m > {{5 + \sqrt {17} } \over 2} \hfill \cr
m < {{5 – \sqrt {17} } \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > {{5 + \sqrt {17} } \over 2} \cr} \)

b) \(\left\{ \matrix{
{m^2} – m – 2 > 0 \hfill \cr
{(2m – 1)^2} – 4({m^2} – m – 2) \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 1 < m < 2 \hfill \cr
9 \le 0 \hfill \cr} \right.\)

Hệ vô nghiệm

Bài 51

Tìm các giá trị của tham số m để các tam thức bậc hai sau có dấu không đổi (không phụ thuộc vào x).

a) \(f(x) = 2{x^2} – (m + 2)x + {m^2} – m – 1;\)

b) \(f(x) = ({m^2} – m – 1){x^2} – (2m – 1)x + 1.\)

Lời giải

Để tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) có dấu không đổi, điều kiện cần và đủ là \(\Delta  = {b^2} – 4ac < 0\)

a) Điều kiện là \(\eqalign{
& {(m + 2)^2} – 8({m^2} – m – 1) < 0 \cr
& \Leftrightarrow – 7{m^2} + 12m + 12 < 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow m \in ( – \infty ;{{6 – \sqrt {120} } \over 7}) \cup ({{6 + \sqrt {120} } \over 7}; + \infty ).\)

b) Điều kiện là  \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{m^2} – m – 1 \ne 0 \hfill \cr
{(2m – 1)^2} – 4({m^2} – m – 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{m^2} – m – 1 \ne 0 \hfill \cr
5 < 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện này.

Bài 52 trang 123 SBT Đại số 10

Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu

a) \(({m^2} – 1){x^2} + (m + 3)x + ({m^2} + m) = 0;\)

b) \({x^2} – ({m^3} + m – 2)x + {m^2} + m – 5 = 0.\)

HD giải:  Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) sẽ có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.

a) Nếu \(m =  \pm 1\) thì phương trỉnh đã cho có nghiệm duy nhất (loại).

\(\eqalign{
& ({m^2} – 1)({m^2} + m) < 0 \Leftrightarrow {(m + 1)^2}m(m – 1) < 0 \cr
& \Leftrightarrow 0 < m < 1 \cr} \)

b) \({x^2} – ({m^3} + m – 2)x + {m^2} + m – 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi

\({m^2} + m – 5 < 0 \Leftrightarrow {{ – 1 – \sqrt {21} } \over 2} < m < {{ – 1 + \sqrt {21} } \over 2}\)

Bài 53

Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt

a) \({x^2} – 2x + {m^2} + m + 3 = 0;\)

b) \(({m^2} + m + 3){x^2} + (4{m^2} + m + 2)x + m = 0.\)

Gợi ý làm bài

Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\)có hai nghiệm dương phân biệt, điều kiện cần và đủ là:

\(\left\{ \matrix{
\Delta > 0 \hfill \cr
{x_1}{x_2} > 0 \hfill \cr
{x_1} + {x_2} > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\Delta > 0 \hfill \cr
ac > 0 \hfill \cr
ab < 0 \hfill \cr} \right.\)

a) \({x^2} – 2x + {m^2} + m + 3 = 0\) có \(\Delta ‘ =  – {m^2} – m – 2 < 0,\forall m\). Do đó không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) \(({m^2} + m + 3){x^2} + (4{m^2} + m + 2)x + m = 0\) có \(a = {m^2} + m + 3 > 0,\forall m\) và có \(b = 4{m^2} + m + 2 > 0,\forall m\), nên \(ab > 0,\forall m\). Vì vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt.

Bài 54

Với giá trị nào của tham số m hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0?

\(\left\{ \matrix{
2x – ({m^2} + m + 1)y = – {m^2} – 9 \hfill \cr
{m^4} + (2{m^2} + 1)y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải

Chú ý rằng \({m^2} + m + 1 > 0; – {m^2} – 9 < 0,\forall m\) nên nếu x > 0, y < 0 thì phương trình thứ nhất có vế trái dương, vế phải âm. Do đó không có giá trị nào của m làm cho hệ đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0.

Bài 55 trang 123 SBT Toán Đại số 10

Tìm các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

a) \(5{x^2} – x + m > 0;\)

b) \(m{x^2} – 10x – 5 < 0.\)

Bài làm

a) \(\eqalign{
& 5{x^2} – x + m > 0,\forall x \cr
& \Leftrightarrow \Delta = 1 – 20m < 0 \Leftrightarrow m > {1 \over {20}} \cr} \)

b) Khi m = 0, bất phương trình trở thành -10x – 5 < 0 , không nghiệm đúng với mọi x.

Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
m < 0 \hfill \cr
\Delta ‘ = 25 + 5m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < – 5\)

Bài 56 trang 124 SBT Đại số 10

Tìm các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

a) \(\eqalign{
& a){{{x^2} – mx – 2} \over {{x^2} – 3x + 4}} > – 1; \cr
& \cr} \)

b) \(m(m + 2){x^2} + 2mx + 2 < 0.\)

Đáp án

\(\eqalign{
& a){{{x^2} – mx – 2} \over {{x^2} – 3x + 4}} > – 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – mx – 2 > – {x^2} + 3x – 4 \cr} \)

Do \({x^2} – 3x + 4 > 0,\forall x\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} – (m + 3)x + 2 > 0\)

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi \(\Delta  < 0\)

\({(m + 3)^2} – 16 < 0\)

\(\Leftrightarrow  – 4 < m + 3 < 4 \Leftrightarrow  – 7 < m < 1\)

b) +Nếu m = 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x;

+Nếu m = -2 thì bất phương tình trở thành – 4x + 2 > 0, không nghiệm đúng với mọi x.

+ Nếu \(m \ne 0\) và \(m \ne  – 2\) thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
m(m + 2) > 0 \hfill \cr
\Delta ‘ = {m^2} – 2m(m + 2) < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m(m + 2) > 0 \hfill \cr
– {m^2} – 4m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < – 4;m > 0 \cr} \)

Đáp số: \(m <  – 4;m \ge 0\).

  Bài 57 trang 124

Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm

a) \(5{x^2} – x + m \le 0;\)

b) \(m{x^2} – 10x – 5 \ge 0.\)

Trả lời

a) Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi \(5{x^2} – x + m > 0\) nghiệm đúng với mọi x.

\( \Leftrightarrow 1 – 20m < 0 \Leftrightarrow m > {1 \over {20}}\)

Đáp số: \(m > {1 \over {20}}\)

b) Cần tìm m để \(m{x^2} – 10x – 5 > 0,\forall x\) (1)

Nếu m = 0 thì bất phương trình (1) trở thành $$ – 10x – 5 < 0$$ không nghiệm đúng với mọi x.

Nếu \(m \ne 0\) thì bất phương trình (1) nghiệm đúng khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
m < 0 \hfill \cr
\Delta ‘ = 25 + 5m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < – 5\)

Đáp số: m < -5.

Bài 58 trang 124 SBT Toán lớp 10

Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt

a) \(({m^2} + m + 1){x^2} + (2m – 3)x + m – 5 = 0;\)

b) \({x^2} – 6mx + 2 – 2m + 9{m^2} = 0.\)

Gợi ý làm bài

a) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương \({x_1},{x_2}\) phân biệt khi và chỉ khi

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ‘ > 0 \hfill \cr
– {b \over a} \hfill \cr
{c \over a} > 0 \hfill \cr} \right. > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{(2m – 3)^2} – 4(m – 5)({m^2} + m + 1) > 0 \hfill \cr
{{ – (2m – 3)} \over {{m^2} + m + 1}} > 0(1) \hfill \cr
{{m – 5} \over {{m^2} + m + 1}} > 0(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vì \({m^2} + m + 1 > 0\) nên bất phương trình (1) \( \Leftrightarrow m < {3 \over 2}\)

và bất phương trình (2) \( \Leftrightarrow m > 5\)

Do dó không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ‘ > 0 \hfill \cr
– {b \over a} \hfill \cr
{c \over a} > 0 \hfill \cr} \right. > 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
9{m^2} – (2 – 2m + 9{m^2}) > 0 \hfill \cr
{{6m} \over 1} > 0 \hfill \cr
{{9{m^2} – 2m + 2} \over 1} > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2m – 2 > 0 \hfill \cr
m > 0 \hfill \cr
9{m^2} – 2m + 2 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > 1 \hfill \cr
\forall m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > 1. \cr} \)

Đáp số: m > 1.