Bài 5 Chương 4 Đại số 10: Dấu của tam thức bậc hai – Lời giải và đáp án bài 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47 trang 122; bài 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55 trang 123; bài 56, 57, 58 trang 124 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10.
Bài 40 trang 122 SBT Toán Đại số 10
Xét dấu của tam thức bậc hai sau
a) \(2{x^2} + 5x + 2;\)
b) \(4{x^2} – 3x – 1;\)
c) \( – 3{x^2} + 5x + 1;\)
d) \(3{x^2} + x + 5.\)
Gợi ý làm bài
d) Tam thức \(3{x^2} + x + 5\) có biệt thức \(\Delta = – 59 < 0\) và hệ số a = 3 > 0
Vậy \(3{x^2} + x + 5 > 0,\forall x\)
Bài 41
Giải các bất phương trình sau:
a) \({x^2} – 2x + 3 > 0;\)
b) \({x^2} + 9 > 6x.\)
Giải
a) \({x^2} – 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + 2 > 0\) (đúng với mọi x);
b) \({x^2} + 9 > 6x \Leftrightarrow {(x – 3)^2} > 0\) (đúng với mọi )
Bài 42
Giải các bất phương trình sau:
a) \(6{x^2} – x – 2 \ge 0;\)
b) \({1 \over 3}{x^2} + 3x + 6 < 0.\)
Hướng dẫn
a) \(6{x^2} – x – 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \le – {1 \over 2}\) hoặc \(x \ge {2 \over 3}\)
b) \({1 \over 3}{x^2} + 3x + 6 < 0 \Leftrightarrow {x^2} + 9x + 18 < 0 \Leftrightarrow – 6 < x < – 3\)
Bài 43 trang 122 SBT Đại số 10
Giải các bất phương trình sau:
a) \({{{x^2} + 1} \over {{x^2} + 3x – 10}} < 0;\)
b) \({{10 – x} \over {5 + {x^2}}} > {1 \over 2}.\)
Gợi ý
a) \({{{x^2} + 1} \over {{x^2} + 3x – 10}} < 0 \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 10 < 0 \Leftrightarrow – 5 < x < 2.\)
b) \(\eqalign{
& {{10 – x} \over {5 + {x^2}}} > {1 \over 2} \Leftrightarrow 20 – 20 > 5 + {x^2} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 15 < 0 \Leftrightarrow – 5 < x < 3 \cr} \)
Bài 44
Giải các bất phương trình sau:
a) \({{x + 1} \over {x – 1}} + 2 > {{x – 1} \over x};\)
b) \({1 \over {x + 1}} + {2 \over {x + 3}} < {3 \over {x + 2}}.\)
Bài giải:
a) \(\eqalign{
& {{x + 1} \over {x – 1}} + 2 > {{x – 1} \over x} \Leftrightarrow {{3x – 1} \over {x – 1}} > {{x – 1} \over x} \cr
& \Leftrightarrow {{3{x^2} – x – {{(x – 1)}^2}} \over {x(x – 1)}} > 0 \Leftrightarrow {{2{x^2} + x – 1} \over {x(x – 1)}} > 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x < – 1\) hoặc \(0 < x < {1 \over 2}\) hoặc \(x > 1\)
b) \(\eqalign{
& {1 \over {x + 1}} + {2 \over {x + 3}} + {3 \over {x + 2}} < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{x + 3 + 2x + 2} \over {(x + 1)(x + 3)}} < {3 \over {x + 2}} \cr} \)
\( \Leftrightarrow {{(3x + 5)(x + 2) – 3(x + 1) + (x + 3)} \over {(x + 1)(x + 2)(x + 3)}} < 0.\)
\( \Leftrightarrow {{1 – x} \over {(x + 1)(x + 2)(x + 3)}} < 0\)
\( \Leftrightarrow x < – 3\) hoặc \( – 2 < x < – 1\) hoặc \(x > 1\)
Đáp số: x < -3 hoặc -2 < x < -1 hoặc x > 1
Bài 45
Giải các bất phương trình sau:
a) \(\left\{ \matrix{
{x^2} \ge 0,25 \hfill \cr
{x^2} – x \le 0 \hfill \cr} \right.;\)
b) \(\left\{ \matrix{
(x – 1)(2x + 3) > 0 \hfill \cr
(x – 4)(x + {1 \over 4}) \le 0 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải
a) \(\left\{ \matrix{
{x^2} \ge 0,25 \hfill \cr
{x^2} – x \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 0,25 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} – x \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 0,5 \le x \le 1.\)
b) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
(x – 1)(2x + 3) > 0 \hfill \cr
(x – 4)(x + {1 \over 4}) \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \in ( – \infty ; – {3 \over 2}) \cup (1; + \infty ) \hfill \cr
x \in {\rm{[ – }}{1 \over 4}{\rm{;4]}} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow x \in (1;4]. \cr} \)
Bài 46 trang 122 SBT Toán 10
Giải các bất phương trình sau:
a) \(\left\{ \matrix{
{x^2} \ge 0,25 \hfill \cr
{x^2} – x \le 0 \hfill \cr} \right.;\)
b) \(\left\{ \matrix{
(x – 1)(2x + 3) > 0 \hfill \cr
(x – 4)(x + {1 \over 4}) \le 0 \hfill \cr} \right.\)
Gợi ý làm bài
a) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x^2} \ge 4x \hfill \cr
{(2x – 1)^2} < 9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 4x \ge 0 \hfill \cr
– 3 < 2x – 1 < 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \in ( – \infty ;0] \cup {\rm{[}}4; + \infty ) \hfill \cr
– 1 < x < 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow – 1 < x \le 0 \cr} \)
b) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x – 3 < (x + 1)(x – 2) \hfill \cr
{x^2} – x \le 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 3x + 1 > 0 \hfill \cr
{x^2} – x – 6 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \in ( – \infty ;{{3 – \sqrt 5 } \over 2}) \cup ({{3 + \sqrt 5 } \over 2};3] \hfill \cr
– 2 \le x \le 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)
\( \Leftrightarrow x \in {\rm{[ – 2;}}{{3 – \sqrt 5 } \over 2}) \cup ({{3 + \sqrt 5 } \over 2};3{\rm{]}}\)
Bài 47 trang 122 SBT Đại số 10
Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau:
a) \(2{m^2} – m – 5 > 0;\)
b) \( – {m^2} + m + 9 > 0.\)
Gợi ý làm bài
a) \(2{m^2} – m – 5 > 0 \Leftrightarrow m < {{1 – \sqrt {41} } \over 4};m > {{1 + \sqrt {41} } \over 4}\)
b) \(- {m^2} + m + 9 > 0 \Leftrightarrow {{1 – \sqrt {37} } \over 2} < m < {{1 + \sqrt {37} } \over 2}\)
Bài 48
Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau:
a) \({(2m – 1)^2} – 4(m + 1)(m – 2) \ge 0;\)
b) \({m^2} – (2m – 1)(m + 1) < 0.\)
Bài làm
\({(2m – 1)^2} – 4(m + 1)(m – 2) \ge 0 \Leftrightarrow 9 \ge 0\). Bất phương trình có tập nghiệm là R.
b) \({m^2} – (2m – 1)(m + 1) < 0 \Leftrightarrow – {m^2} – m + 1 < 0\)
\( \Leftrightarrow m \in ( – \infty ;{{ – 1 – \sqrt 5 } \over 2}) \cup ({{ – 1 + \sqrt 5 } \over 2}; + \infty )\)
Bài 49 trang 123 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau:
a) \(\left\{ \matrix{
{(2m – 1)^2} – 4({m^2} – m) \ge 0 \hfill \cr
{1 \over {{m^2} – m}} > 0 \hfill \cr
{{2m – 1} \over {{m^2} – m}} > 0 \hfill \cr} \right.;\)
b) \(\left\{ \matrix{
{(m – 2)^2} – (m + 3)(m – 1) \ge 0 \hfill \cr
{{m – 2} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr
{{m – 1} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr} \right.\)
Bài giải
a) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{(2m – 1)^2} – 4({m^2} – m) \ge 0 \hfill \cr
{1 \over {{m^2} – m}} > 0 \hfill \cr
{{2m – 1} \over {{m^2} – m}} > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 \ge 0 \hfill \cr
{m^2} – m > 0 \Leftrightarrow m > 1 \hfill \cr
2m – 1 > 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
b) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{(m – 2)^2} – (m + 3)(m – 1) \ge 0 \hfill \cr
{{m – 2} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr
{{m – 1} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 6m + 7 \ge 0 \hfill \cr
(m – 2)(m + 3) < 0 \hfill \cr
(m – 1)(m + 3) > 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m \le {7 \over 6} \hfill \cr
– 3 < m < 2 \hfill \cr
\left[ \matrix{
m > 1 \hfill \cr
m < – 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le {7 \over 6}\)
Bài 50
Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau:
a) \(\left\{ \matrix{
2m – 1 > 0 \hfill \cr
{m^2} – (m – 2)(2m – 1) < 0 \hfill \cr} \right.;\)
b) \(\left\{ \matrix{
{m^2} – m – 2 > 0 \hfill \cr
{(2m – 1)^2} – 4({m^2} – m – 2) \le 0 \hfill \cr} \right.\)
Đáp án
a) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2m – 1 > 0 \hfill \cr
{m^2} – (m – 2)(2m – 1) < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > {1 \over 2} \hfill \cr
– {m^2} + 5m – 2 < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > 0,5 \hfill \cr
\left[ \matrix{
m > {{5 + \sqrt {17} } \over 2} \hfill \cr
m < {{5 – \sqrt {17} } \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > {{5 + \sqrt {17} } \over 2} \cr} \)
b) \(\left\{ \matrix{
{m^2} – m – 2 > 0 \hfill \cr
{(2m – 1)^2} – 4({m^2} – m – 2) \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 1 < m < 2 \hfill \cr
9 \le 0 \hfill \cr} \right.\)
Hệ vô nghiệm
Bài 51
Tìm các giá trị của tham số m để các tam thức bậc hai sau có dấu không đổi (không phụ thuộc vào x).
a) \(f(x) = 2{x^2} – (m + 2)x + {m^2} – m – 1;\)
b) \(f(x) = ({m^2} – m – 1){x^2} – (2m – 1)x + 1.\)
Lời giải
Để tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) có dấu không đổi, điều kiện cần và đủ là \(\Delta = {b^2} – 4ac < 0\)
a) Điều kiện là \(\eqalign{
& {(m + 2)^2} – 8({m^2} – m – 1) < 0 \cr
& \Leftrightarrow – 7{m^2} + 12m + 12 < 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow m \in ( – \infty ;{{6 – \sqrt {120} } \over 7}) \cup ({{6 + \sqrt {120} } \over 7}; + \infty ).\)
b) Điều kiện là \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{m^2} – m – 1 \ne 0 \hfill \cr
{(2m – 1)^2} – 4({m^2} – m – 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{m^2} – m – 1 \ne 0 \hfill \cr
5 < 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện này.
Bài 52 trang 123 SBT Đại số 10
Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu
a) \(({m^2} – 1){x^2} + (m + 3)x + ({m^2} + m) = 0;\)
b) \({x^2} – ({m^3} + m – 2)x + {m^2} + m – 5 = 0.\)
HD giải: Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) sẽ có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.
a) Nếu \(m = \pm 1\) thì phương trỉnh đã cho có nghiệm duy nhất (loại).
\(\eqalign{
& ({m^2} – 1)({m^2} + m) < 0 \Leftrightarrow {(m + 1)^2}m(m – 1) < 0 \cr
& \Leftrightarrow 0 < m < 1 \cr} \)
b) \({x^2} – ({m^3} + m – 2)x + {m^2} + m – 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi
\({m^2} + m – 5 < 0 \Leftrightarrow {{ – 1 – \sqrt {21} } \over 2} < m < {{ – 1 + \sqrt {21} } \over 2}\)
Bài 53
Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt
a) \({x^2} – 2x + {m^2} + m + 3 = 0;\)
b) \(({m^2} + m + 3){x^2} + (4{m^2} + m + 2)x + m = 0.\)
Gợi ý làm bài
Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\)có hai nghiệm dương phân biệt, điều kiện cần và đủ là:
\(\left\{ \matrix{
\Delta > 0 \hfill \cr
{x_1}{x_2} > 0 \hfill \cr
{x_1} + {x_2} > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\Delta > 0 \hfill \cr
ac > 0 \hfill \cr
ab < 0 \hfill \cr} \right.\)
a) \({x^2} – 2x + {m^2} + m + 3 = 0\) có \(\Delta ‘ = – {m^2} – m – 2 < 0,\forall m\). Do đó không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) \(({m^2} + m + 3){x^2} + (4{m^2} + m + 2)x + m = 0\) có \(a = {m^2} + m + 3 > 0,\forall m\) và có \(b = 4{m^2} + m + 2 > 0,\forall m\), nên \(ab > 0,\forall m\). Vì vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt.
Bài 54
Với giá trị nào của tham số m hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0?
\(\left\{ \matrix{
2x – ({m^2} + m + 1)y = – {m^2} – 9 \hfill \cr
{m^4} + (2{m^2} + 1)y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải
Chú ý rằng \({m^2} + m + 1 > 0; – {m^2} – 9 < 0,\forall m\) nên nếu x > 0, y < 0 thì phương trình thứ nhất có vế trái dương, vế phải âm. Do đó không có giá trị nào của m làm cho hệ đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0.
Bài 55 trang 123 SBT Toán Đại số 10
Tìm các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a) \(5{x^2} – x + m > 0;\)
b) \(m{x^2} – 10x – 5 < 0.\)
Bài làm
a) \(\eqalign{
& 5{x^2} – x + m > 0,\forall x \cr
& \Leftrightarrow \Delta = 1 – 20m < 0 \Leftrightarrow m > {1 \over {20}} \cr} \)
b) Khi m = 0, bất phương trình trở thành -10x – 5 < 0 , không nghiệm đúng với mọi x.
Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
m < 0 \hfill \cr
\Delta ‘ = 25 + 5m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < – 5\)
Bài 56 trang 124 SBT Đại số 10
Tìm các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a) \(\eqalign{
& a){{{x^2} – mx – 2} \over {{x^2} – 3x + 4}} > – 1; \cr
& \cr} \)
b) \(m(m + 2){x^2} + 2mx + 2 < 0.\)
Đáp án
\(\eqalign{
& a){{{x^2} – mx – 2} \over {{x^2} – 3x + 4}} > – 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – mx – 2 > – {x^2} + 3x – 4 \cr} \)
Do \({x^2} – 3x + 4 > 0,\forall x\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} – (m + 3)x + 2 > 0\)
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi \(\Delta < 0\)
\({(m + 3)^2} – 16 < 0\)
\(\Leftrightarrow – 4 < m + 3 < 4 \Leftrightarrow – 7 < m < 1\)
b) +Nếu m = 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x;
+Nếu m = -2 thì bất phương tình trở thành – 4x + 2 > 0, không nghiệm đúng với mọi x.
+ Nếu \(m \ne 0\) và \(m \ne – 2\) thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
m(m + 2) > 0 \hfill \cr
\Delta ‘ = {m^2} – 2m(m + 2) < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m(m + 2) > 0 \hfill \cr
– {m^2} – 4m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < – 4;m > 0 \cr} \)
Đáp số: \(m < – 4;m \ge 0\).
Bài 57 trang 124
Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm
a) \(5{x^2} – x + m \le 0;\)
b) \(m{x^2} – 10x – 5 \ge 0.\)
Trả lời
a) Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi \(5{x^2} – x + m > 0\) nghiệm đúng với mọi x.
\( \Leftrightarrow 1 – 20m < 0 \Leftrightarrow m > {1 \over {20}}\)
Đáp số: \(m > {1 \over {20}}\)
b) Cần tìm m để \(m{x^2} – 10x – 5 > 0,\forall x\) (1)
Nếu m = 0 thì bất phương trình (1) trở thành $$ – 10x – 5 < 0$$ không nghiệm đúng với mọi x.
Nếu \(m \ne 0\) thì bất phương trình (1) nghiệm đúng khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
m < 0 \hfill \cr
\Delta ‘ = 25 + 5m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < – 5\)
Đáp số: m < -5.
Bài 58 trang 124 SBT Toán lớp 10
Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt
a) \(({m^2} + m + 1){x^2} + (2m – 3)x + m – 5 = 0;\)
b) \({x^2} – 6mx + 2 – 2m + 9{m^2} = 0.\)
Gợi ý làm bài
a) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương \({x_1},{x_2}\) phân biệt khi và chỉ khi
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ‘ > 0 \hfill \cr
– {b \over a} \hfill \cr
{c \over a} > 0 \hfill \cr} \right. > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{(2m – 3)^2} – 4(m – 5)({m^2} + m + 1) > 0 \hfill \cr
{{ – (2m – 3)} \over {{m^2} + m + 1}} > 0(1) \hfill \cr
{{m – 5} \over {{m^2} + m + 1}} > 0(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vì \({m^2} + m + 1 > 0\) nên bất phương trình (1) \( \Leftrightarrow m < {3 \over 2}\)
và bất phương trình (2) \( \Leftrightarrow m > 5\)
Do dó không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
b) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ‘ > 0 \hfill \cr
– {b \over a} \hfill \cr
{c \over a} > 0 \hfill \cr} \right. > 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
9{m^2} – (2 – 2m + 9{m^2}) > 0 \hfill \cr
{{6m} \over 1} > 0 \hfill \cr
{{9{m^2} – 2m + 2} \over 1} > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2m – 2 > 0 \hfill \cr
m > 0 \hfill \cr
9{m^2} – 2m + 2 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > 1 \hfill \cr
\forall m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > 1. \cr} \)
Đáp số: m > 1.
Trả lời