Giải SBT Bài 1 Bất đẳng thức – Chương 4 – Đại số 10

Bài 1 trang 106 SBT Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)

Gợi ý:

\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3} \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} – {x^3}y – x{y^3} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3}(x – y) + {y^3}(y – x) \ge 0 \Leftrightarrow (x – y)({x^3} – {y^3}) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {(x – y)^2}({x^2} + {y^2} + xy) \ge 0 \Leftrightarrow {(x – y)^2}({(x + {y \over 2})^2} + {{3{y^2}} \over 4}) \ge 0\) (đúng)

Bài 2 trang 106

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z\)

HD giải:

\({x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z\)

\( \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 4{y^2} – 12y + 3({z^2} – 2z) + 14 > 0\)

\( \Leftrightarrow {(x – 1)^2}{(2y – 3)^2} + 3{(z – 1)^2} + 1 > 0\) (đúng)

Bài 3

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b \)

Gợi ý làm bài

\(\eqalign{
& {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \cr
& \Leftrightarrow {{{{(\sqrt a )}^3} + {{(\sqrt b )}^3}} \over {\sqrt a \sqrt b }} \ge \sqrt a + \sqrt b \cr} \)

\( \Leftrightarrow (\sqrt a  + \sqrt b )(a + b – \sqrt {ab} ) \ge (\sqrt a  + \sqrt b )\sqrt {ab} \)

\( \Leftrightarrow (\sqrt a  + \sqrt b )(a + b – 2\sqrt {ab} ) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow (\sqrt a  + \sqrt b ){(\sqrt a  – \sqrt b )^2} \ge 0\) (đúng)

.net

Bài 4 trang 106

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)

Bài giải

Từ \({1 \over a} + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{1 \over {ab}}} \) và \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) suy ra

\((a + b)({1 \over a} + {1 \over b}) \ge 4\) hay \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)

Bài 5 trang 106 SBT Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \)

Đáp án

Từ \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) và \(c + d \ge 2\sqrt {cd} \)suy ra

\(a + b + c + d \ge 2(\sqrt {ab}  + \sqrt {cd} )\)

\( =  > 2.2\sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } \)

=> \({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \)

=> \(a + b + c + d \ge 2.2\sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } \)

=> \({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \)

Bài 6 trang 106

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge {{16} \over {a + b + c + d}}\)

Gợi ý:

Từ \(a + b + c + d \ge 4\root 4 \of {abcd} \) và \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge 4\root 4 \of {{1 \over {abcd}}} \)

Suy ra \((a + b + c + d)({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d}) \ge 16\)

Hay \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge {{16} \over {a + b + c + d}}\)

Bài 7 trang 106

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({a^2}b + {1 \over b} \ge 2a\)

Bài giải

\({a^2}b + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{a^2}b.{1 \over b}}  = 2a\)

Bài 8 trang 106

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\((a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc\)

Bài làm

Từ \(a + b \ge 2\sqrt {ab} ,b + c \ge 2\sqrt {bc} ,c + a \ge 2\sqrt {ca} \)

Suy ra: \((a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc\)

Bài 9

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({(\sqrt a  + \sqrt b )^2} \ge 2\sqrt {2(a + b)\sqrt {ab} } \)

HD:

\({(\sqrt a  + \sqrt b )^2} = a + b + 2\sqrt {ab}  \ge 2\sqrt {(a + b).2\sqrt {ab} } \)

Bài 10 trang 106 SBT Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {9 \over {a + b + c}}\)

Bài giải

\((a + b + c)({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c}) = 1 + 1 + 1 + ({a \over b} + {b \over a}) + ({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b})\)

\( \ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9 =  > {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {9 \over {a + b + c}}\)

Bài 11 trang 106

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

\(y = {4 \over x} + {9 \over {1 – x}}\) với 0 < x < 1.

Gợi ý làm bài

\(y = {{4(x + 1 – x)} \over x} + {{9(x + 1 – x)} \over {1 – x}}\)

=\(4 + 9 + {{4(1 – x)} \over x} + 9.{x \over {1 – x}} \ge 13 + 2\sqrt {4.{{(1 – x)} \over x}.9.{x \over {1 – x}}}  = 25\)

=> \(y \ge 25,\forall x \in (0;1)\)

Đẳng thức y = 25 xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
{{4(1 – x)} \over x} = {{9x} \over {1 – x}} = 6 \hfill \cr
x \in (0;1) \hfill \cr} \right.\)

hay \(x = {2 \over 5}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 25 đạt tại \(x = {2 \over 5}\).

Bài 12

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 

\(y = 4{x^3} – {x^4}\) với \(0 \le x \le 4\)

Bài giải

\(y = 4{x^3} – {x^4} = {x^3}(4 – x)\)

=> \(3y = x.x.x(12 – 3x) \le {({{x + x} \over 2})^2}{({{x + 12 – 3x} \over 2})^2}\)

\( =  > 48 \le {{\rm{[}}2x(12 – 2x){\rm{]}}^2} \le {({{2x + 12 – 2x} \over 2})^4} = {6^4}\)

\( =  > y \le {{{6^4}} \over {48}} = 27,\forall x \in {\rm{[}}0;4]\)

\(y = 27 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = x \hfill \cr
x = 12 – 3x \hfill \cr
2x = 12 – x \hfill \cr
x \in {\rm{[}}0;4] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 3.\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 27 đạt được khi x = 3.

Bài 13

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau trên tập xác định của nó

\(y = \sqrt {x – 1}  + \sqrt {5 – x} \)

Bài giải

Vế phải có nghĩa khi \(1 \le x \le 5\)

Ta có: \({y^2} = {(\sqrt {x – 1}  + \sqrt {5 – x} )^2} = 4 + 2\sqrt {(x – 1)(5 – x)} \)

=> \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{y^2} \ge 4,\forall x \in {\rm{[}}1;5] \hfill \cr
{y^2} \le 4 + (x – 1) + (5 – x) = 8 \hfill \cr} \right. \cr
& = > \left\{ \matrix{
y \ge 2 \hfill \cr
y \le 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\forall x \in {\rm{[}}1;5] \cr} \)

Hơn nữa \(y = 2 \Leftrightarrow (x – 1)(5 – x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 1 \hfill \cr x = 5 \hfill \cr} \right.$\)

\(y = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow x – 1 = 5 – x \Leftrightarrow x = 3\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng \(2\sqrt 2 $\) khi x = 3, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2 khi x = 1 hoặc x = 5.

Bài 14 trang 106 SBT Toán Đại số 10

Chứng minh rằng: 

\(\left| {x – z} \right| \le \left| {x – y} \right| + \left| {y – z} \right|,\forall x,y,z\)

Gợi ý làm bài

\(\left| {x – z} \right| = \left| {(x – y) + (y – z)} \right| \le \left| {x – y} \right| + \left| {y – z} \right|\)