Bài 1: Bất đẳng thức – SBT Toán lớp 10 – Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Chương 4 Bất đẳng thức – Bất phương trình.
Bài 1 trang 106 SBT Toán Đại số 10
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)
Gợi ý:
\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3} \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} – {x^3}y – x{y^3} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {x^3}(x – y) + {y^3}(y – x) \ge 0 \Leftrightarrow (x – y)({x^3} – {y^3}) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {(x – y)^2}({x^2} + {y^2} + xy) \ge 0 \Leftrightarrow {(x – y)^2}({(x + {y \over 2})^2} + {{3{y^2}} \over 4}) \ge 0\) (đúng)
Bài 2 trang 106
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z\)
HD giải:
\({x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z\)
\( \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 4{y^2} – 12y + 3({z^2} – 2z) + 14 > 0\)
\( \Leftrightarrow {(x – 1)^2}{(2y – 3)^2} + 3{(z – 1)^2} + 1 > 0\) (đúng)
Bài 3
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \)
Gợi ý làm bài
\(\eqalign{
& {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \cr
& \Leftrightarrow {{{{(\sqrt a )}^3} + {{(\sqrt b )}^3}} \over {\sqrt a \sqrt b }} \ge \sqrt a + \sqrt b \cr} \)
\( \Leftrightarrow (\sqrt a + \sqrt b )(a + b – \sqrt {ab} ) \ge (\sqrt a + \sqrt b )\sqrt {ab} \)
\( \Leftrightarrow (\sqrt a + \sqrt b )(a + b – 2\sqrt {ab} ) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow (\sqrt a + \sqrt b ){(\sqrt a – \sqrt b )^2} \ge 0\) (đúng)
.net
Bài 4 trang 106
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)
Bài giải
Từ \({1 \over a} + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{1 \over {ab}}} \) và \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) suy ra
\((a + b)({1 \over a} + {1 \over b}) \ge 4\) hay \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)
Bài 5 trang 106 SBT Đại số 10
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \)
Đáp án
Từ \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) và \(c + d \ge 2\sqrt {cd} \)suy ra
\(a + b + c + d \ge 2(\sqrt {ab} + \sqrt {cd} )\)
\( = > 2.2\sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } \)
=> \({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \)
=> \(a + b + c + d \ge 2.2\sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } \)
=> \({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \)
Bài 6 trang 106
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge {{16} \over {a + b + c + d}}\)
Gợi ý:
Từ \(a + b + c + d \ge 4\root 4 \of {abcd} \) và \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge 4\root 4 \of {{1 \over {abcd}}} \)
Suy ra \((a + b + c + d)({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d}) \ge 16\)
Hay \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge {{16} \over {a + b + c + d}}\)
Bài 7 trang 106
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({a^2}b + {1 \over b} \ge 2a\)
Bài giải
\({a^2}b + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{a^2}b.{1 \over b}} = 2a\)
Bài 8 trang 106
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\((a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc\)
Bài làm
Từ \(a + b \ge 2\sqrt {ab} ,b + c \ge 2\sqrt {bc} ,c + a \ge 2\sqrt {ca} \)
Suy ra: \((a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc\)
Bài 9
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({(\sqrt a + \sqrt b )^2} \ge 2\sqrt {2(a + b)\sqrt {ab} } \)
HD:
\({(\sqrt a + \sqrt b )^2} = a + b + 2\sqrt {ab} \ge 2\sqrt {(a + b).2\sqrt {ab} } \)
Bài 10 trang 106 SBT Đại số 10
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {9 \over {a + b + c}}\)
Bài giải
\((a + b + c)({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c}) = 1 + 1 + 1 + ({a \over b} + {b \over a}) + ({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b})\)
\( \ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9 = > {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {9 \over {a + b + c}}\)
Bài 11 trang 106
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
\(y = {4 \over x} + {9 \over {1 – x}}\) với 0 < x < 1.
Gợi ý làm bài
\(y = {{4(x + 1 – x)} \over x} + {{9(x + 1 – x)} \over {1 – x}}\)
=\(4 + 9 + {{4(1 – x)} \over x} + 9.{x \over {1 – x}} \ge 13 + 2\sqrt {4.{{(1 – x)} \over x}.9.{x \over {1 – x}}} = 25\)
=> \(y \ge 25,\forall x \in (0;1)\)
Đẳng thức y = 25 xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
{{4(1 – x)} \over x} = {{9x} \over {1 – x}} = 6 \hfill \cr
x \in (0;1) \hfill \cr} \right.\)
hay \(x = {2 \over 5}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 25 đạt tại \(x = {2 \over 5}\).
Bài 12
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
\(y = 4{x^3} – {x^4}\) với \(0 \le x \le 4\)
Bài giải
\(y = 4{x^3} – {x^4} = {x^3}(4 – x)\)
=> \(3y = x.x.x(12 – 3x) \le {({{x + x} \over 2})^2}{({{x + 12 – 3x} \over 2})^2}\)
\( = > 48 \le {{\rm{[}}2x(12 – 2x){\rm{]}}^2} \le {({{2x + 12 – 2x} \over 2})^4} = {6^4}\)
\( = > y \le {{{6^4}} \over {48}} = 27,\forall x \in {\rm{[}}0;4]\)
\(y = 27 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = x \hfill \cr
x = 12 – 3x \hfill \cr
2x = 12 – x \hfill \cr
x \in {\rm{[}}0;4] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 3.\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 27 đạt được khi x = 3.
Bài 13
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau trên tập xác định của nó
\(y = \sqrt {x – 1} + \sqrt {5 – x} \)
Bài giải
Vế phải có nghĩa khi \(1 \le x \le 5\)
Ta có: \({y^2} = {(\sqrt {x – 1} + \sqrt {5 – x} )^2} = 4 + 2\sqrt {(x – 1)(5 – x)} \)
=> \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{y^2} \ge 4,\forall x \in {\rm{[}}1;5] \hfill \cr
{y^2} \le 4 + (x – 1) + (5 – x) = 8 \hfill \cr} \right. \cr
& = > \left\{ \matrix{
y \ge 2 \hfill \cr
y \le 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\forall x \in {\rm{[}}1;5] \cr} \)
Hơn nữa \(y = 2 \Leftrightarrow (x – 1)(5 – x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 1 \hfill \cr x = 5 \hfill \cr} \right.$\)
\(y = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow x – 1 = 5 – x \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng \(2\sqrt 2 $\) khi x = 3, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2 khi x = 1 hoặc x = 5.
Bài 14 trang 106 SBT Toán Đại số 10
Chứng minh rằng:
\(\left| {x – z} \right| \le \left| {x – y} \right| + \left| {y – z} \right|,\forall x,y,z\)
Gợi ý làm bài
\(\left| {x – z} \right| = \left| {(x – y) + (y – z)} \right| \le \left| {x – y} \right| + \left| {y – z} \right|\)
Trả lời