Giải SBT Bài 3: Hàm số bậc hai – Chương 2 – Đại số 10

Bài 14 trang 40 Sách bài tập Toán Đại số 10

Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh, giao điểm với trục tung và trục hoành của parabol.

a) \(y = 2{x^2} – x – 2\)

b) \(y =  – 2{x^2} – x + 2\)

c) \(y =  – {1 \over 2}{x^2} + 2x – 1\)

d) \(y = {1 \over 5}{x^2} – 2x + 6\)

Gợi ý làm bài

a) Ở đây \(a = 2;b =  – 2;c =  – 2\) . Ta có \(\Delta  = {( – 1)^2} – 4.2.( – 2) = 17\)

Trục đối xứng là đường thẳng \(x = {1 \over 4}\) ; đỉnh \(I({1 \over 4}; – {{17} \over 8})\) giao với trục tung tại điểm (0;-2).

Để tìm giao điểm với trục hoành ta giải phương trình

\(2{x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow {x_{1,2}} = {{1 \pm \sqrt {17} } \over 4}\)

Vậy các giao điểm với trục hoành là \(({{1 + \sqrt {17} } \over 4};0)\) và \(({{1 – \sqrt {17} } \over 4};0)\)

b) Trục đối xứng \(x =  – {1 \over 4}\) ; đỉnh \(I( – {1 \over 4}; – {{17} \over 8})\) giao với trục tung tại điểm (0;2); giao với trục hoành tại các điểm \(( – {{1 + \sqrt {17} } \over 4};0)\) và \(({{\sqrt {17}  – 1} \over 4};0)\) .

c) Trục đối xứng x = 2; đỉnh I(2;1); giao với trục tung tại điểm (0;-1) giao với trục hoành tại các điểm \((1 + \sqrt 2 ;0)\) và \((2 – \sqrt 2 ;0)\)

d) Trục đối xứng x = 5; đỉnh I(5;1); giao với trục tung tại điểm (0;6). Parabol không cắt trục hoành \((\Delta  =  – {4 \over 5} < 0)\)

Bài 15 trang 40 SBT Toán 10

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai

a) \(y = 2{x^2} + 4x – 6\)

b) \(y =  – 3{x^2} – 6x + 4\)

c) \(y = \sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 3 x + 2\)

d) \(y =  – 2({x^2} + 1)\)

HD giải:

a) Hàm số bậc hai đã cho có a = 2; b = 4; c = -6;

Vậy \( – {b \over {2a}} =  – 1;\Delta  = {b^2} – 4ac = 64; – {\Delta  \over {4a}} =  – 8\)

Vì a > 0, ta có bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( – \infty ; – 1)\) đồng biến trên khoảng \(( – 1; + \infty )\)

Để vẽ đồ thị ta có trục đối xứng là đường thẳng x = -1; đỉnh I(-1;-8); giao với tục tung tại điểm (0;-6); giao với trục hoành tại các điểm (-3;0) và (1;0).

Đồ thị của hàm số \(y = 2{x^2} + 4x – 6\) được vẽ trên hình 35.

b) Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng \(( – \infty ; – 1)\) và nghịch biến trên khoảng \(( – 1; + \infty )\)

Đỉnh parabol I(-1;7). Đồ thị của hàm số \(y =  – 3{x^2} – 6x + 4\) được vẽ trên hình 36.

c) Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( – \infty ; – 1)\) và đồng biến trên khoảng \(( – 1; + \infty )\)

Đỉnh parabol \(( – 1;2 – \sqrt 3 )\)

Đồ thị hàm số được vẽ trên hình 37.

d) \(y =  – 2{x^2} – 2\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng \(( – \infty ;0)\) và nghịch biến trên khoảng  \((0; + \infty )\) , hàm số là chẵn.

Đỉnh parabol I(0;-2); đồ thị đi qua điểm (1;-4) và điểm (-1;-4).

Đồ thị hàm số \(y =  – 2({x^2} + 1)\) được vẽ trên hình 38.

Bài 16 SBT Toán lớp 10

Xác định hàm số bậc hai \(y = a{x^2} – 4x + c\), biết rằng đồ thị của nó

a) Đi qua hai điểm A(1;-2) và B(2;3);

b) Có đỉnh là I(-2 ;-1) ;

c) Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm P(-2 ;1) ;

d) Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại điểm M(3 ;0).

Bài giải: Các hàm số bậc hai cần xác định đều có b = -4.

a) Ta có

\(\left\{ \matrix{
– 2 = a – 4 + c \hfill \cr
3 = 4a – 8 + c \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a + c = 2 \hfill \cr
4a + c = 11 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 3 \hfill \cr
c = – 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = 3{x^2} – 4x – 1\)

b) \(y =  – {x^2} – 4x – 5\)

c) \(y =  – {2 \over 3}{x^2} – 4x – {{13} \over 3}\)

d) \(y = {x^2} – 4x + 3\)

Bài 17 trang 40

Viết phương trình của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) ứng với mỗi đồ thị dưới đây

Bài giải: a) Dựa trên đồ thị (h.22) tâ thấy parabol có đỉnh I(-3 ;0) và đi qua điểm (0 ;-4). Như vậy

\(c =  – 4; – {b \over {2a}} =  – 3 \Leftrightarrow b = 6a\) Thay c = -4 và b = 6a vào biểu thức

\(\Delta  = {b^2} – 4ac = 0 =  > 36{a^2} + 16a = 0 =  > a =  – {4 \over 9}\) (vì \(a \ne 0)\) và \(b =  – {8 \over 3}\)

Vậy phương trình của parabol là \(y =  – {4 \over 9}{x^2} – {8 \over 3}x – 4\)

b) \(y = {4 \over 9}{x^2} + {8 \over 9}x – {5 \over 9}\)

Bài 18 trang 40 SBT Toán Đại số 10

Một chiếc ăng – ten chảo parabol có chiều cao h = 0,5 m và đường kính d = 4 m. Ở mặt cắt qua trục ta được một parabol dạng \(y = a{x^2}\) (h.24). Hãy xác định hệ số a.

Gợi ý làm bài

Ta có thiết diện mặt cắt qua trục của chiếc ăng-ten là:

Vậy ta có: \(A\left( {2;{1 \over 2}} \right)\) mà \(A \in \) prapol: \(y = ax_{}^2\) \( \Rightarrow {1 \over 2} = a.2_{}^2 \Leftrightarrow a = {1 \over 8}\)

Bài 19

Một chiếc cổng hình parabol dạng \(y =  – {1 \over 2}{x^2}\) có chiều rộng d = 8m. Hãy tính chiều cao h của cổng (h.25).

HD giải

Ta có: \(A\left( {4; – h} \right)\) mà \(A \in \) parabol \(y =  – {1 \over 2}x_{}^2\) \( \Rightarrow h = \left| { – {1 \over 2}.4_{}^2} \right| \Rightarrow h = 8\)