Giải SBT Toán 11 Bài 3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác – (SBT) Đại số và giải tích lớp 11.
Bài 3.1
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \sqrt {{{\tan }^3}x} .\)
Giải:
\(y’ = {{3{{\tan }^2}x} \over {2{{\cos }^2}x\sqrt {{{\tan }^3}x} }}.\)
Bài 3.2 trang 206
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = {2 \over {\cos \left( {{\pi \over 6} – 5x} \right)}}.\)
Giải:
\(y’ = – {{10\sin \left( {{\pi \over 6} – 5x} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {{\pi \over 6} – 5x} \right)}}.\)
Bài 3. 3
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(y = {{\sin {x^2}} \over x}.\)
Giải:
\(y’ = {{2{x^2}\cos {x^2} – \sin {x^2}} \over {{x^2}}}.\)
Bài 3.4
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(y = \cos {x \over {x + 1}}.\)
Giải:
\(y’ = – {{\sin {x \over {x + 1}}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)
Bài 3.5 trang 207 SBT Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = {\tan ^2}x – \cot {x^2}.\)
Giải:
\(y’ = {{2\sin x} \over {{{\cos }^3}x}} + {{2x} \over {{{\sin }^2}{x^2}}}.\)
Bài 3.6 trang 207 SBT Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(f\left( t \right) = {{\cos t} \over {1 – \sin t}}\) tại \(t = {\pi \over 6}.\)
Giải:
\(f’\left( t \right) = {{ – \sin t\left( {1 – \sin t} \right) + {{\cos }^2}t} \over {{{\left( {1 – \sin t} \right)}^2}}} = {1 \over {1 – \sin t}}\) ;
Do đó \(f’\left( {{\pi \over 6}} \right) = 2.\)
Bài 3.7
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \sqrt x + {1 \over {\sqrt x }} + 0,1{x^{10}}.\)
Giải:
\(y’ = {1 \over {2\sqrt x }} – {1 \over {2x\sqrt x }} + {x^9}.\)
Bài 3.8 trang 207 Sách bài tập Đại số 11
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = {{2{x^2} + x + 1} \over {{x^2} – x + 1}}.\)
Giải:
\(y’ = {{ – 3{x^2} + 2x + 2} \over {{{\left( {{x^2} – x + 1} \right)}^2}}}.\)
Bài 3.9
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(g\left( \varphi \right) = {{\cos \varphi + \sin \varphi } \over {1 – \cos \varphi }}.\)
Giải:
\(g’\left( \varphi \right) = {{\cos \varphi – \sin \varphi – 1} \over {{{\left( {1 – \cos \varphi } \right)}^2}}}.\)
Bài 3.10
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = {\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^4}.\)
Bài làm
\(y’ = 4{\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^3}\left( {3 + 10x} \right).\)
Bài 3.11
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = {\left( {3 – \sin x} \right)^3}.\)
Đáp án
\(y’ = – 3{\left( {3 – \sin x} \right)^2}\cos x.\)
Bài 3.12
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = {\sin ^2}3x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}.\)
Đáp án
\(y’ = 3\sin 6x + {{2\sin x} \over {{{\cos }^3}x}}.\)
Bài 3.13
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \sqrt {1 + 2\tan x} .\)
Đáp số
\(y’ = {1 \over {\sqrt {1 + 2\tan x} .{{\cos }^2}x}}.\)
Bài 3.14 trang 207 Toán 11
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \cot \sqrt {1 + {x^2}} .\)
Giải:
\(y’ = {{ – x} \over {\sqrt {1 + {x^2}} {{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}.\)
Bài 3.15
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } .\)
Giải:
\(y’ = {1 \over {2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\left[ {1 + {1 \over {2\sqrt {x + \sqrt x } }}\left( {1 + {1 \over {2\sqrt x }}} \right)} \right].\)
Bài 3.16
Cho \(f\left( x \right) = 5{x^2} – 16\sqrt x + 7.\) Tính \(f’\left( 1 \right);f’\left( 4 \right);f’\left( {{1 \over 4}} \right).\)
Giải:
\(f’\left( 1 \right) = 2{\rm{ }};{\rm{ }}f’\left( 4 \right) = 36{\rm{ }};{\rm{ }}f’\left( {{1 \over 4}} \right) = – {{27} \over 2}.\)
Bài 3.17
Giải phương trình \(f’\left( x \right) = 0,\) biết rằng
a) \(f\left( x \right) = 3x + {{60} \over x} – {{64} \over {{x^3}}} + 5\) ;
b) \(f\left( x \right) = {{\sin 3x} \over 3} + \cos x – \sqrt 3 \left( {\sin x + {{\cos 3x} \over 3}} \right).\)
Giải:
a) \(\left\{ { \pm 2; \pm 4} \right\}.\)
b) \(\left\{ {{\pi \over {12}} + k\pi ,{\pi \over 8} + k{\pi \over 2};k \in Z} \right\}.\)
Bài 3.18
Giải các phương trình
a) \(f’\left( x \right) = 0\) với \(f\left( x \right) = 1 – \sin \left( {\pi + x} \right) + 2\cos {{3\pi + x} \over 2}\) ;.
b) \(g’\left( x \right) = 0\) với \(g\left( x \right) = \sin 3x – \sqrt 3 \cos 3x + 3\left( {\cos x – \sqrt 3 \sin x} \right).\)
Giải:
a) \(x = {{2\pi } \over 3} + k{{4\pi } \over 3},k \in Z.\)
b) \(x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2};x = {\pi \over {12}} + k\pi ,k \in Z.\)
Bài 3.19 trang 208
Giải phương trình \(f’\left( x \right) = g\left( x \right)\)
a) Với \(f\left( x \right) = 1 – {\sin ^4}3x\) và \(g\left( x \right) = \sin 6x\) ;
b) Với \(f\left( x \right) = 4x{\cos ^2}\left( {{x \over 2}} \right)\) và \(g\left( x \right) = 8\cos {x \over 2} – 3 – 2x\sin x.\)
Giải:
a) \(x = k{\pi \over 6},k \in Z.\)
b) \(x = \pm {{2\pi } \over 3} + k4\pi ,k \in Z.\)
Bài 3.20
Chứng minh rằng \(f’\left( x \right) = 0\forall x \in R,\) nếu :
a) \(f\left( x \right) = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) – 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\) ;
b) \(f\left( x \right) = {\cos ^6}x + 2{\sin ^4}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x\) ;
c) \(f\left( x \right) = \cos \left( {x – {\pi \over 3}} \right)\cos \left( {x + {\pi \over 4}} \right) + \cos \left( {x + {\pi \over 6}} \right)\cos \left( {x + {{3\pi } \over 4}} \right)\) ;
d) \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} – x} \right).\)
Giải:
Cách 1.Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.
Từ đó suy ra \(f’\left( x \right) = 0.\)
a) \(f\left( x \right) = 1 \Rightarrow f’\left( x \right) = 0\) ;
b) \(f\left( x \right) = 1 \Rightarrow f’\left( x \right) = 0\) ;
c) \(f\left( x \right) = {1 \over 4}\left( {\sqrt 2 – \sqrt 6 } \right) \Rightarrow f’\left( x \right) = 0\) ;
d) \(f\left( x \right) = {3 \over 2} \Rightarrow f’\left( x \right) = 0.\)
Cách 2.Lấy đạo hàm của f(x) rồi chứng minh rằng \(f’\left( x \right) = 0.\)
Bài 3.21
Tìm \(f’\left( 1 \right),f’\left( 2 \right),f’\left( 3 \right)\) nếu \(f\left( x \right) = \left( {x – 1} \right){\left( {x – 2} \right)^2}{\left( {x – 3} \right)^3}.\)
Trả lời
f'(1) = -8
f'(2) = 0
f'(3) = 0
Bài 3.22
Tìm \(f’\left( 2 \right)\) nếu
\(f\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {x – 2} \right).\)
Đáp số \(f’\left( 2 \right) = 4.\)
Bài 3.23
Cho \(y = {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} – 2x.\)
Với những giá trị nào của x thì :
a) \(y’\left( x \right) = 0;\)
b) \(y’\left( x \right) = – 2;\)
c) \(y’\left( x \right) = 10\)
Giải:
\(y’ = {x^2} + x – 2\)
a) -2; 1
b) -1; 0
c) -4; 3
Bài 3.24 trang 208 SBT Đại số lớp 11
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = {a^5} + 5{a^3}{x^2} – {x^5}.\)
Giải:
\(y’ = 10{a^3}x – 5{x^4}.\)
Bài 3.25
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \left( {x – a} \right)\left( {x – b} \right).\)
Giải: \(y’ = 2x – \left( {a + b} \right).\)
Bài 3.26
Tìm đạo hàm của hàm số:
\(y = {{ax + b} \over {a + b}}.\)
Giải:
\(y’ = {a \over {a + b}}.\)
3.27 trang 208
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}.\)
Giải:
\(y’ = 2\left( {x + 2} \right){\left( {x + 3} \right)^2}\left( {3{x^2} + 11x + 9} \right).\)
Bài 3.28
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \left( {x\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {x\cos \alpha – \sin \alpha } \right).\)
Đáp án
\(y’ = x\sin 2\alpha + \cos 2\alpha .\)
Bài 3.29
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \left( {1 + n{x^m}} \right)\left( {1 + m{x^n}} \right).\)
Giải:
\(y’ = mn\left[ {{x^{n – 1}} + {x^{m – 1}} + \left( {m + n} \right){x^{m + n – 1}}} \right].\)
Bài 3.30 trang 209 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \left( {1 – x} \right){\left( {1 – {x^2}} \right)^2}{\left( {1 – {x^3}} \right)^3}.\)
Giải:
\(y’ = – {\left( {1 – x} \right)^2}\left( {1 – {x^2}} \right){\left( {1 – {x^3}} \right)^2}\left( {1 + 6x + 15{x^2} + 14{x^3}} \right).\)
Bài 3.31
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = {{1 + x – {x^2}} \over {1 – x + {x^2}}}.\)
Giải:
\(y’ = {{2\left( {1 – 2x} \right)} \over {{{\left( {1 – x + {x^2}} \right)}^2}}}.\)
Bài 3.32
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(y = {x \over {{{\left( {1 – x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}}}.\)
Giải:
\(y’ = {{1 – x + 4{x^2}} \over {{{\left( {1 – x} \right)}^3}{{\left( {1 + x} \right)}^4}}}{\rm{ }}\left( {\left| x \right| \ne 1} \right)\)
Bài 3.33
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = {{\left( {2 – {x^2}} \right)\left( {3 – {x^3}} \right)} \over {{{\left( {1 – x} \right)}^2}}}.\)
Giải:
\(y’ = {{12 – 6x – 6{x^2} + 2{x^3} + 5{x^4} – 3{x^5}} \over {{{\left( {1 – x} \right)}^3}}}{\rm{ }}\left( {x \ne 1} \right).\)
Bài 3.34
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(y = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)
Giải:
\(y’ = {{1 + 2{x^2}} \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}.\)
Bài 3.35
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = {x \over {\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}.\)
Giải:
\(y’ = {{{a^2}} \over {\left( {{a^2} – {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}{\rm{ }}\left( {\left| x \right| < \left| a \right|} \right)\)
Bài 3.36 trang 209
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \left( {2 – {x^2}} \right)\cos x + 2x\sin x.\)
Đáp số: \(y’ = {x^2}\sin x.\)
Bài 3.37 trang 209 SBT Toán 11
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right).\)
Giải:
\(y’ = – \sin 2x.\cos \left( {\cos 2x} \right).\)
Bài 3.38
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = {{\sin x – x\cos x} \over {\cos x + x\sin x}}.\)
Giải:
\(y’ = {{{x^2}} \over {{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}.\)
Bài 3.39
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \tan {x \over 2} – \cot {x \over 2}.\)
Giải:
\(y’ = {2 \over {{{\sin }^2}x}}\left( {x \ne k\pi ,k \in Z} \right).\)
Bài 3.40
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \tan x – {1 \over 3}{\tan ^3}x + {1 \over 5}{\tan ^5}x.\)
Giải:
\(y’ = 1 + {\tan ^6}x\left( {x \ne \left( {2k + 1} \right){\pi \over 2},k \in Z} \right).\)
Trả lời