Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm – SBT Toán lớp 11– Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích lớp 11.
Bài 2.1 trang 202
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = {x^5} – 4{x^3} – {x^2} + {x \over 2}.\)
Giải: \(y’ = 5{x^4} – 12{x^2} – 2x + {1 \over 2}.\)
Bài 2.2
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(y = – 9{x^3} + 0,2{x^2} – 0,14x + 5.\)
Giải:
\(y’ = – 27{x^2} + 0,4x – 0,14.\)
Bài 2.3
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(y = {2 \over x} – {4 \over {{x^2}}} + {5 \over {{x^3}}} – {6 \over {7{x^4}}}.\)
Giải:
\(y’ = – {2 \over {{x^2}}} + {8 \over {{x^3}}} – {{15} \over {{x^4}}} + {{24} \over {7{x^5}}}.\)
Bài 2.4 trang 202
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(y = – 6\sqrt x + {3 \over x}.\)
Giải:
\(y’ = – {3 \over {\sqrt x }} – {3 \over {{x^2}}}.\)
Bài 2.5 trang 203 SBT Toán 11
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \left( {9 – 2x} \right)\left( {2{x^3} – 9{x^2} + 1} \right).\)
Giải:
\(y’ = – 16{x^3} + 108{x^2} – 162x – 2.\)
Bài 2.6
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = {{2x – 3} \over {x + 4}}.\)
Giải:
\(y’ = {{11} \over {{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.\)
Bài 2.7
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(y = {{5 – 3x – {x^2}} \over {x – 2}}.\)
Giải:
\(y’ = {{ – {x^2} + 4x + 1} \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}.\)
Bài 2.8 trang 203 SBT Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}.\)
Giải:
\(y’ = 2x{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} + 6{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right){\left( {{x^4} + 1} \right)^3} + 12{x^3}\left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^2}.\)
Bài 2.9 trang 203 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(y = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)
Giải:
\(y’ = {{1 + 2{x^2}} \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}.\)
Bài 2.10
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = {\left( {a + {b \over x} + {c \over {{x^2}}}} \right)^4}\) (a,b,c là các hằng số).
Giải:
\(y = – 4{\left( {a + {b \over x} + {c \over {{x^2}}}} \right)^3}\left( {{b \over {{x^2}}} + {{2c} \over {{x^3}}}} \right).\)
Bài 2.11
Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \sqrt {{x^3} – 2{x^2} + 1} .\)
Giải:
\(y’ = {{3{x^2} – 4x} \over {2\sqrt {{x^3} – 2{x^2} + 1} }}.\)
Bài 2.12
Rút gọn:
\(f\left( x \right) = \left( {{{x – 1} \over {2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + 1} \right).{2 \over {\sqrt x + 1}}:{\left( {{{\sqrt {x – 2} } \over {\sqrt {x + 2} + \sqrt {x – 2} }} + {{x – 2} \over {\sqrt {{x^2} – 4} – x + 2}}} \right)^2}\) và tìm f'(x)
Giải:
\(f\left( x \right) = {4 \over {{x^2} – 4}};{\rm{ }}f’\left( x \right) = – {{8x} \over {{{\left( {{x^2} – 4} \right)}^2}}}.\)
Bài 2.13
Cho \(f\left( x \right) = {x^5} + {x^3} – 2x – 3.$ Chứng minh rằng $f’\left( 1 \right) + f’\left( { – 1} \right) = – 4f\left( 0 \right).\)
Giải:
\(f\left( x \right) = {x^5} + {x^3} – 2x – 3.\)
Bài 2.14
Cho \(f\left( x \right) = 2{x^3} + x – \sqrt 2 ;\)
\(g\left( x \right) = 3{x^2} + x + \sqrt 2 .\)
Giải bất phương trình \(f'(x) > g’\left( x \right).\)
Giải:
\(\left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)
Bài 2.15
Cho
\(\eqalign{
& f\left( x \right) = 2{x^3} – {x^2} + \sqrt 3 ; \cr
& g\left( x \right) = {x^3} + {{{x^2}} \over 2} – \sqrt 3 . \cr} \)
Giải bất phương trình \(f'(x) > g’\left( x \right).\)
Bài giải:
\(\left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)
Bài 2.16 trang 203 Sách bài tập Đại số và giải tích 11
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x – 2\sqrt {{x^2} + 12} .\) Giải bất phương trình \(f’\left( x \right) \le 0.\)
(Đề thi tốt nghiệp THPT 2010)
Giải:
\(\eqalign{
& f’\left( x \right) = 1 – {{2x} \over {\sqrt {{x^2} + 12} }} \le 0{\rm{ }} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 12} \le 2x \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + 12 \le 4{x^2} \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{x^2} \ge 12 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} \ge 4 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2. \cr}\)
Đáp số: \({\rm{[}}2; + \infty ).\)
Bài 2.17
Giải các bất phương trình
a) \(f’\left( x \right) > 0\) với \(f\left( x \right) = {1 \over 7}{x^7} – {9 \over 4}{x^4} + 8x – 3\) ;
b) \(g’\left( x \right) \le 0\) với \(g\left( x \right) = {{{x^2} – 5x + 4} \over {x – 2}}\) ;
c) \(\varphi ‘\left( x \right) < 0\) với \(\varphi \left( x \right) = {{2x – 1} \over {{x^2} + 1}}.\)
Giải:
a) x < 1 hoặc x > 2
b) Vô nghiệm.
c) \(\left( { – \infty ;{{1 – \sqrt 5 } \over 2}} \right) \cup \left( {{{1 + \sqrt 5 } \over 2}; + \infty } \right).\)
Bài 2.18
Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R
a) \(f’\left( x \right) > 0\) với \(f\left( x \right) = {m \over 3}{x^3} – 3{x^2} + mx – 5\) ;
b) \(g’\left( x \right) < 0\) với \(g\left( x \right) = {m \over 3}{x^3} – {m \over 2}{x^2} + \left( {m + 1} \right)x – 15.\)
Giải:
a) m > 3
b) \(m < – {4 \over 3}.\)
Bài 2.19
Cho \(f\left( x \right) = {2 \over x},g\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} – {{{x^3}} \over 3}.\)
Giải bất phương trình \(f\left( x \right) \le g’\left( x \right).\)
Giải:
[-1; 0)
Bài 2.20
Tính f'(-1) biết rằng \(f\left( x \right) = {1 \over x} + {2 \over {{x^2}}} + {3 \over {{x^3}}}.\)
Giải:
-6
Bài 2.21
Tính g'(1), biết rằng \(g\left( x \right) = {1 \over x} + {1 \over {\sqrt x }} + {x^2}.\)
Giải:
\({1 \over 2}.\)
Bài 2.22
Tínhh'(0), biết rằng \(h\left( x \right) = {x \over {\sqrt {4 – {x^2}} }}.\)
Giải:
\({1 \over 2}.\)
Bài 2.23
Tính \(\varphi ‘\left( 2 \right),\) biết rằng \(\varphi \left( x \right) = {{\left( {x – 2} \right)\left( {8 – x} \right)} \over {{x^2}}}.\)
Giải:
\({3 \over 2}.\)
Bài 2.24
Chứng minh rằng nếu S(r) là diện tích hình tròn bán kính r thì S'(r) làchu vi đường tròn đó.
Giải:
Vì \(S\left( r \right) = \pi {r^2}\) nên \(S’\left( r \right) = 2\pi r\) là chu vi đường tròn.
Bài 2.25
Chứng minh rằng nếu V(R) là thể tích hình cầu bán kính R thì V'(R) là diện tích mặt cầu đó.
Giải:
Vì \(V\left( R \right) = {4 \over 3}\pi {r^3}\) nên \(V’\left( R \right) = 4\pi {R^2}\) là diện tích mặt cầu.
Bài 2.26 trang 204 SBT đại số lớp 11
Giả sử V là thể tích hình trụ tròn xoay với chiều cao h và bán kính đáy r. Chứng minh rằng với r là hằng số thì đạo hàm V'(h) bằng diện tích đáy hình trụ và với h là hằng số thì đạo hàm V'(r) bằng diện tích xung quanh của hình trụ.
Giải:
Vì \(V = \pi {r^2}h\) nên \(V’\left( h \right) = \pi {r^2}\) là diện tích đáy hình trụ;
\(V’\left( r \right) = 2\pi rh\) là diện tích xung quanh của hình trụ.
Trả lời